已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且b2+c2=a2+
3
bc，求：
（1）2sinBcosC-sin（B-C）的值；
（2）若a=2，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．
考點(diǎn)：余弦定理
專題：解三角形
分析：（1）△ABC中，由條件利用余弦定理求得cosA的值，可得A=30°．再利用兩角和差的正弦公式求得2sinBcosC-sin（B-C）的值．
（2）由a=2，A=30°，利用正弦定理求得△ABC周長(zhǎng)為 a+b+c=2+4sinB+4sinC，再利用和差化積公式化為8sin75°cos
B-C
2
，從而求得△ABC周長(zhǎng)a+b+c的最大值．
解答： 解：（1）△ABC中，由b2+c2=a2+
3
bc，可得cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
3
2
，∴A=30°．
∴2sinBcosC-sin（B-C）=2sinBcosC-sinBcosC+cosBsinC
=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA=sin30°=
1
2
．
（2）∵a=2，A=30°，由正弦定理可得
b
sinB
=
c
sinC
=
a
sinA
=
2
sin30°
=4，
故△ABC周長(zhǎng)為 a+b+c=2+4sinB+4sinC=2+4×2sin
B+C
2
cos
B-C
2
=2+8sin75°cos
B-C
2
．
故當(dāng)B=C時(shí)，8sin75°cos
B-C
2
 取得最大值為8sin75°=8sin（45°+30°）
=8（sin45°cos30°+cos45°sin30°）=2（
6
+
2
），
△ABC周長(zhǎng)為 a+b+c取得最大值為 2+2（
6
+
2
）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，兩角和差的三角公式，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x），x∈R，且在x=1處，f（x）存在極小值，則（　�。�
A、當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0
B、當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0
C、當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0
D、當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是7.8/cm3）六角螺帽（如圖）共重5.8kg，已知底面是正六邊形，邊長(zhǎng)為12mm，內(nèi)孔直徑為10mm，高為10mm，問這堆螺帽大約有多少個(gè)（π取3.14，可用計(jì)算器）？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知矩陣A=
2-1
11
，且A-1
0
3
=
x
y
，則x+y=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），e=
1
2
，其中F是橢圓的右焦點(diǎn)，焦距為2，直線l與橢圓C交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為
1
4
，且
AF
=λ
FB
（其中λ＞1）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；  
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，梯形OABC中，OA=OC=2AB=1，OC∥AB，∠AOC=
π
3
，設(shè)
OM
=λ
OA
，
ON
=μ
OC
（λ＞0，μ＞0），
OG
=
1
2
（
OM
+
ON
）．
（Ⅰ）當(dāng)λ=
1
2
，μ=
1
4
時(shí)，點(diǎn)O，G，B是否共線，請(qǐng)說明理由．
（Ⅱ）若△OMN的面積為
3
16
，求|
OG
|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于曲線C：f（x，y）=0，若存在最小的非負(fù)實(shí)數(shù)m和n，使得曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），|x|≤m，|y|≤n恒成立，則稱曲線C為有界曲線，且稱點(diǎn)集{（x，y）||x|≤m，|y|≤n}為曲線C的界域．
（1）寫出曲線（x-1）2+y2=4的界域；
（2）已知曲線M上任意一點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O與直線x=1的距離之和等于3，曲線M是否為有界曲線，若是，求出其界域，若不是，請(qǐng)說明理由；
（3）已知曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）的距離之積為常數(shù)a（a＞0），求曲線的界域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)A（-2，3），點(diǎn)B（3，2），過點(diǎn)P（0，-2）的直線L與線段AB有公共點(diǎn)，若點(diǎn)Q（m，3）在直線L上，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)圓滿足條件：①截y軸所得的弦長(zhǎng)為2；②圓心到直線l：x-2y=0的距離為
5
5
；③被x軸分成的兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3：1．
（1）求這個(gè)圓的方程
（2）若上述圓的圓心在第一象限，過（-1，3）點(diǎn)的一條光線射到x軸反射后恰好與上述圓相切，求入射光線所在的直線方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案