Question

設(shè)圓滿足條件：①截y軸所得的弦長(zhǎng)為2；②圓心到直線l：x-2y=0的距離為

5

5

；③被x軸分成的兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3：1．
（1）求這個(gè)圓的方程
（2）若上述圓的圓心在第一象限，過（-1，3）點(diǎn)的一條光線射到x軸反射后恰好與上述圓相切，求入射光線所在的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)圓的圓心C（a，b），半徑為r，則由題意可得

a2+1=r2 r2=2b2 |a-2b| 5 = 5 5

，求得a、b、r的值，可得要求的圓的方程．
（2）設(shè)入射光線的斜率為k，根據(jù)入射線過點(diǎn)（-1，3）可得入射線的方程．再根據(jù)反射定律求得反射線的方程，再根據(jù)反射線和圓（x-1）²+（y-1）²=2相切，求得k的值，可得入射線的方程．

解答： 解：（1）設(shè)圓的圓心C（a，b），半徑為r，則由題意可得

a2+1=r2 r2=2b2 |a-2b| 5 = 5 5

，
求得a=b=1，r=

2

，或a=b=-1，r=

2

，
故要求的圓的方程為 （x-1）²+（y-1）²=2，或 （x+1）²+（y+1）²=2．
（2）圓心在第一象限的圓為 （x-1）²+（y-1）²=2，設(shè)入射光線的斜率為k，則反射線的斜率為-k，且入射項(xiàng)過點(diǎn)（-1，3），
故入射線的方程為 y-3=k（x+1），即 kx-y+3+k=0．
再根據(jù)點(diǎn)（-1，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（-1，-3）在反射線上，且反射線的斜率為-k，
故反射線的方程為y+3=-k（x+1），即 kx+y+3+k=0．
再根據(jù)反射線和圓 （x-1）²+（y-1）²=2相切，可得

|k+1+3+k|

k2+1

=

2

，
求得k=-1，或k=-7，∴入射線的方程為x-y-2=0，或7x-y+4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，反射定理，直線和圓相切的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．