Question

8．有下列命題：
①乘積（a+b+c+d）（p+q+r）（m+n）展開式的項(xiàng)數(shù)是24；
②由1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、2都不與5相鄰的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是36；
③某會(huì)議室第一排共有8個(gè)座位，現(xiàn)有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法種數(shù)為24；
④已知（1+x）⁸=a₀+a₁x+…+a₈x⁸，其中a₀，a₁，…，a₈中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為2．
其中真命題的序號(hào)是①②③④．

Answer 1

分析 ①根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算．
②根據(jù)排列組合進(jìn)行計(jì)算．
③根據(jù)排列組合進(jìn)行計(jì)算．
④根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．

解答 解：①乘積（a+b+c+d）（p+q+r）（m+n）展開式的項(xiàng)數(shù)是4×3×2=24；故①正確，
②如果5在兩端，則1、2有三個(gè)位置可選，排法為2×A₃²A₂²=24種，
如果5不在兩端，則1、2只有兩個(gè)位置可選，首先排5，有${C}_{3}^{1}$=3種，然后排1和2，有A₂²A₂²=12種，
3×A₂²A₂²=12種，共計(jì)12+24=36種；故②正確；
③將空位插到三個(gè)人中間，三個(gè)人有兩個(gè)中間位置和兩個(gè)兩邊位置，就是將空位分為四部分，五個(gè)空位四分只有1，1，1，2
空位五差別，只需要空位2分別占在四個(gè)位置就可以有四種方法，另外三個(gè)人排列A³₃=6，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)可得共有4×6=24，故③正確，；
④由（1+x）⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸．
可知：a₀，a₁，a₂…a₈均為二項(xiàng)式系數(shù)，
依次是c₈⁰，c₈¹，c₈²…c₈⁸．
∵C₈⁰=C₈⁸=1，C₈¹=C₈⁷=8，C₈²=C₈⁶=28；C₈³=C₈⁵=56；C₈⁴=70
∴a₀，a₁，a₂…a₈中奇數(shù)只有a₀，a₈兩個(gè)，故④正確，
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及排列組合以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．