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12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.
(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡E的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F任作直線l,交曲線E于A,B兩點(diǎn),交直線x=-1于點(diǎn)C,M是AB的中點(diǎn),求證:|CA|•|CB|=|CM|•|CF|.

分析 (Ⅰ)依題意,點(diǎn)P的軌跡E是以F為焦點(diǎn),以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,由此能求出E的方程.
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A,B,M,F(xiàn)在準(zhǔn)線上的投影分別為A1,B1,N,H,要證|CA|•|CB|=|CM|•|CF|,只需證|CA1|•|CB1|=|CN|•|CH|,設(shè)直線AB的方程為x=my+1,代入y2=4x,得y2-4my-4=0,由此入手能證明|CA|•|CB|=|CM|•|CF|.

解答 解:(Ⅰ)依題意,點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與它到直線x=-1的距離相等,
∴點(diǎn)P的軌跡E是以F為焦點(diǎn),以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,
∴E的方程為y2=4x.…(5分)
證明:(Ⅱ)根據(jù)對(duì)稱(chēng)性只考慮AB的斜率為正的情形,
設(shè)點(diǎn)A,B,M,F(xiàn)在準(zhǔn)線上的投影分別為A1,B1,N,H,
要證|CA|•|CB|=|CM|•|CF|,就是要證|CA||CM|=|CF||CB|,
只需證|CA1||CN|=|CH||CB1|,即證|CA1|•|CB1|=|CN|•|CH|…①
設(shè)直線AB的方程為x=my+1,代入y2=4x,得y2-4my-4=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m…②,y1y2=-4…③,
在x=my+1中,令x=-1,得y=2m,即C12m
因此,要證①式成立,只需證:y1ycy2yc=y1+y22ycyc
只需證:y1y2y1+y22yc=0…④,
由②③兩式,可知y1y2y1+y22yc=42m2m=0,
∴④式成立,∴原命題獲證.
∴|CA|•|CB|=|CM|•|CF|.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法,考查兩組線段乘積相等的證明,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意拋物線性質(zhì)和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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