Question

已知函數(shù)f(x)=

2

3

x3-x．
（1）試在函數(shù)f（x）的圖象上求兩點(diǎn)，使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在區(qū)間[-1，1]上；
（2）求證：|f(sinx)-f(cosx)|≤

2 2

3

（x∈R）

Answer 1

分析：（1）設(shè)所求兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁、x₂再利用切線的斜率之積為1：（2x₁²-1）（2x₂²-1）=-1，即可求得結(jié)果；
（2）因?yàn)閨f（sinx）-f（cosx）|≤|f（sinx）|+|f（cosx）|，故欲求證|f(sinx)-f(cosx)|≤

2 2

3

（x∈R），只須探求|f（sinx）|和|f（cosx）|的取值范圍即可，故只要利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性即可．

解答：解：（1）設(shè)所求兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂且 （x₁＜x₂），則：（2x₁²-1）（2x₂²-1）=-1，
又∵x₁，x₂∈[-1，1]．∴2x²-1∈[-1，1]，2x₂²-1∈[-1，1]，∴2x₁²-1，2x₂²-1中一個(gè)為1，一個(gè)為-1，
∴

x1=0 x2=1

或

x1=-1 x2=0

∴所求的兩點(diǎn)為(0，0)，(1，-

1

3

)或(0，0)，(-1，

1

3

)
（2）易知：sinx∈[-1，1]，cosx∈[-1，1]
對(duì)函數(shù)y=

2

3

x3-x??f′(x)=2x2-1=2(x-

2

2

)(x+

2

2

)∴當(dāng)0＜x＜

2

2

時(shí)?
?f′（x）＜0，當(dāng)

2

2

＜x＜1時(shí)?f′（x）＞0
∴f（x）在[0，

2

2

]為減函數(shù)，在[

2

2

，1]上為增函數(shù)
又f(0)=0，f(

2

2

)=-

2

3

Z??f(1)=-

1

3

Z
而f（x）在[-1，1]上為奇函數(shù)???
∴f（x）在[-1，1]上最大值為?

2

3

，最小值為-

2

3

?
∴|f(sinx)-f(cos)|≤f(x)max-f(x)min=

2 2

3

???????????

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了不等式的證明、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．