Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-{cos^2}x-\frac{1}{2}$，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值和最小正周期；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別a，b，c且c=3，f（C）=0，若sinB=2sinA，求：邊a，邊b的值．

Answer 1

分析 （1）將f（x）解析式第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域得出f（x）的最大值，找出ω的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期；
（2）由（1）確定的f（x）解析式及f（C）=0，求出sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，由C的范圍，求出2C-$\frac{π}{6}$的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值及正弦函數(shù)的圖象求出C的度數(shù)，由sinB=2sinA，利用正弦定理得到b=2a①，再利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，將c與cosC的值代入得到關(guān)于a與b的方程，記作②，聯(lián)立①②即可求出a與b的值．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-{cos^2}x-\frac{1}{2}$，x∈R，
得$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1+cos}{2}-\frac{1}{2}=sin（2x-\frac{π}{6}）-1$，∴f（x）的最大值為0．∵ω=2，∴f（x）最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由（1）知$f（C）=sin（2C-\frac{π}{6}）-1=0$，則$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$．
∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，
∴$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，∴$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$C=\frac{π}{3}$．
∵sinB=2sinA，∴$\frac{a}=\frac{1}{2}$，①
由余弦定理得${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$，即a²+b²-ab=9，②
由①②解得$a=\sqrt{3}，b=2\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正弦、余弦定理，正弦函數(shù)的定義域與值域，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，是中檔題．