Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax+a（x∈R），在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．若n∈N^*，f（n）是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{c_n}中，所有滿足c_k•c_k+1＜0的正整數(shù)k的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列{c_n}的變號(hào)數(shù)，令（n為正整數(shù)），求數(shù)列{c_n}的變號(hào)數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)（n≥2且n∈N^*），使不等式恒成立，求正整數(shù)m的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，知△=a²-4a=0，得a=0或a=4．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（II）法一：由題設(shè)，因?yàn)閚≥3時(shí)，，所以n≥3時(shí)，數(shù)列{c_n}遞增．由此能夠推導(dǎo)出數(shù)列{c_n}變號(hào)數(shù)為3．
法二：由題設(shè)，知當(dāng)n≥2時(shí)，令c_n•c_n+1＜0，得，解得n=2或n=4．由此能夠推導(dǎo)出數(shù)列{c_n}變號(hào)數(shù)為3．
（Ⅲ）n≥2且n∈N^*時(shí)，，轉(zhuǎn)化為 ．由此入手能夠推導(dǎo)出正整數(shù)m的最大值為5．
解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)
∴△=a²-4a=0得a=0或a=4（1分）
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=x²在（0，+∞）上遞增故不存在0＜x₁＜x₂，
使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立        （2分）
綜上，得a=4，f（x）=x²-4x+4．（3分）
∴S_n=n²-4n+4
∴（4分）
（II）解法一：由題設(shè)
∵n≥3時(shí)，
∴n≥3時(shí)，數(shù)列{c_n}遞增．
∵，
由，得n≥5可知
即n≥3時(shí)，有且只有1個(gè)變號(hào)數(shù)；     
又即∴此處變號(hào)數(shù)有2個(gè)
綜上得數(shù)列{c_n}共有3個(gè)變號(hào)數(shù)，即變號(hào)數(shù)為3           （9分）
解法二：由題設(shè)
當(dāng)n≥2時(shí)，令c_n•c_n+1＜0，
得，
即或，
解得n=2或n=4．
又∵c₁=-3，c₂=5，
∴n=1時(shí)也有c₁•c₂＜0
綜上得數(shù)列{c_n}共有3個(gè)變號(hào)數(shù)，即變號(hào)數(shù)為3…（9分）
（Ⅲ）n≥2且n∈N^*時(shí)，
可轉(zhuǎn)化為    ．
設(shè)g（n）=，
則當(dāng)n≥2且n∈N^*，
=
=．
所以g（n+1）＞g（n），即當(dāng)n增大時(shí)，g（n）也增大．
要使不等式
對(duì)于任意的n∈N^*恒成立，
只需即可．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184614750448897/SYS201310241846147504488019_DA/25.png">，
所以．
即 
所以，正整數(shù)m的最大值為5．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，計(jì)算量大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．本題對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．