Question

17．過點M（4，0）作圓x²+y²=4的兩條切線MA，MB，A，B為切點，則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（　�。�

• A． 6
• B． -6
• C． 10
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用直線和圓相切的性質(zhì)，直角三角形中的邊角關(guān)系，求得MA=MB的值，以及∠AMB的值，再利用兩個向量的數(shù)量積的定義，求得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=|$\overrightarrow{MA}$|•|$\overrightarrow{MB}$|•cos$\frac{π}{3}$的值．

解答 解：過點M（4，0）作圓x²+y²=4的兩條切線MA，MB，A，B為切點，MA=MB=$\sqrt{{4}^{2}{-2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
由于圓的半徑為2，原點為圓心，
在Rt△OMA中，sin∠OMA=$\frac{OA}{OM}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠OMA=$\frac{π}{6}$，
同理可得，∠OMB=$\frac{π}{6}$，
∴∠AMB=$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$
=$\frac{π}{3}$，
則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=|$\overrightarrow{MA}$|•|$\overrightarrow{MB}$|•cos$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$•2$\sqrt{3}$•$\frac{1}{2}$
=6，
故選：A．

點評 本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓相切的性質(zhì)，直角三角形中的邊角關(guān)系，兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．