Question

數(shù)列{an}滿足a1=

2

，an+1=

1+an

1-an

，則{an}的前80項(xiàng)的和等于

-70

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特性可知，對(duì)于函數(shù)y=f（x），由f(x+1)=

1+f(x)

1-f(x)

，分析出函數(shù)的周期，由此推出數(shù)列的項(xiàng)以4為周期周期出現(xiàn)，求出前4項(xiàng)的和，則數(shù)列的前80項(xiàng)的和可求．

解答：解：對(duì)于函數(shù)y=f（x），由f(x+1)=

1+f(x)

1-f(x)

，
則f(x+2)=

1+f(x+1)

1-f(x+1)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
f(x+3)=

1+f(x+2)

1-f(x+2)

=

1- 1 f(x)

1+ 1 f(x)

=

f(x)-1

f(x)+1

，
F(x+4)=

1+f(x+3)

1-f(x+3)

=

1+ f(x)-1 f(x)+1

1- f(x)-1 f(x)+1

=f(x)．
∴f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
由an+1=

1+an

1-an

，則數(shù)列{a_n}的項(xiàng)以4為周期周期出現(xiàn)，
由a₁=2，則a2=

1+ 2

1- 2

=-3-2

2

，
a3=

1-3-2 2

1+3+2 2

=-

2

2

，
a4=

1- 2 2

1+ 2 2

=3-2

2

．
∴S₈₀=20（a₁+a₂+a₃+a₄）=20(

2

-3-2

2

-

2

2

+3-2

2

)=-70

2

．
故答案為-70

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了數(shù)列的和，解答此題的關(guān)鍵是分析出數(shù)列的項(xiàng)以4為周期周期出現(xiàn)，此題是中檔題．