Question

（2013•浙江模擬）如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE=2，F(xiàn)A=FE，∠AEF=45°．
（1）線段CD的中點(diǎn)為P，線段AE的中點(diǎn)為M，求證：PM∥平面BCE；
（2）求直線CF與平面BCE所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）取AB的中點(diǎn)為N，連接MN，PN，由三角形的中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)與判定即可證明平面PMN∥平面EBC，再利用面面平行的性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；
（2）由面面垂直的性質(zhì)可得CB⊥EF；再由∠AEF=∠AEB=45°，可得FE⊥EB，從而可得FE⊥平面BCE，可得∠FCE為直線CF與平面BCE所成角．再由已知可求出EC，EF即可．

解答：（1）取AB的中點(diǎn)為N，連接MN，PN，
又∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)，∴MN∥EB．
∵BN

∥

.

PC，∴四邊形BCPN是平行四邊形．
∴PN∥BC，
∵M(jìn)N∩NP=N．
∴面PMN∥面EBC，
∴PM∥平面BCE．
（2）解：∵正方形ABCD⊥平面四邊形ABEF，BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABEF，
∴BC⊥EF，BC⊥BE．
∵△ABE是等腰直角三角形，AE=AB=2，∴∠AEB=45°，EB=2

2

．
又∵∠AEF=45°．
∴∠FEB=90^°．
∴FE⊥EB．
又EB∩BC=B，F(xiàn)E⊥面EBC，
∴∠FCE為直線CF與平面BCE所成角，
由上面可知：EC=

BC2+EB2

=2

3

．
∵FA=FE，∠AEF=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴FE=

2

．
∴tan∠FCE=

FE

EC

=

6

6

．

點(diǎn)評：熟練掌握三角形的中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)與判定、面面平行的判定與性質(zhì)定理、面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理、線面角的定義是解題的關(guān)鍵．