Question

在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)P₁（1，2），P₂（2，2²），P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ），其中n是正整數(shù)．對(duì)平面上任一點(diǎn)A₀，記A₁為A₀關(guān)于點(diǎn)P₁的對(duì)稱點(diǎn)，A₂為A₁關(guān)于點(diǎn)P₂的對(duì)稱點(diǎn)，…，A_n為A_n-1關(guān)于點(diǎn)P_n的對(duì)稱點(diǎn)．
（1）求向量

A0A2

的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)A₀在曲線C上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A₂的軌跡是函數(shù)y=f（x）的圖象，其中f（x）是以3位周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，3]時(shí)，f（x）=lgx．求以曲線C為圖象的函數(shù)在（1，4]上的解析式；
（3）對(duì)任意偶數(shù)n，用n表示向量

A0An

的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)A₁，A₂的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)公式求出

A0A2

的坐標(biāo)．
（2）由已知判斷出y=f（x）的圖象是由C按

A0A2

平移得到的；得到C是由f（x）左移兩個(gè)單位，下移4個(gè)單位得到，利用圖象變換求出C的解析式．
（3）利用向量的運(yùn)算法則將

A0An

有以P_n為起點(diǎn)終點(diǎn)的向量表示，利用向量的坐標(biāo)公式求出各向量的坐標(biāo)，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出向量的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)A₀（x，y），A₁為A₀關(guān)于點(diǎn)P₁的對(duì)稱點(diǎn)，A₁的坐標(biāo)為（2-x，4-y），
A₁為P₂關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為（2+x，4+y），
∴

A0A2

={2，4}．
（2）∵

A0A2

={2，4}，
∴f（x）的圖象由曲線C向右平移2個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到．
因此，設(shè)曲線C是函數(shù)y=g（x）的圖象，
其中g(shù)（x）是以3為周期的周期函數(shù)，
且當(dāng)x∈（-2，1]時(shí)，g（x）=lg（x+2）-4．
于是，當(dāng)x∈（1，4]時(shí)，g（x）=lg（x-1）-4．
（3）

A0An

=

A0A2

+

A2A4

+…+

An-2An

，
由于

A2k-2A2k

=2

P2k-1P2k

，得

A0An

=2（

P1P2

+

P3P4

+…+

Pn-1Pn

）
=2（{1，2}+{1，2³}+…+{1，2^n-1}）=2{

n

2

，

2(2n-1)

3

}={n，

4(2n-1)

3

}

點(diǎn)評(píng)：本題考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式、向量的坐標(biāo)公式、圖象的平移變換、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．