Question

已知函數(shù)y=x+

t

x

有如下性質(zhì)：如果常數(shù)t＞0，那么該函數(shù)在（0，

t

]上是減函數(shù)，在[

t

，+∞）上是增函數(shù)．
（1）若f（x）=x+

a

x

，函數(shù)在（0，a]上的最小值為4，求a的值；
（2）對(duì)于（1）中的函數(shù)在區(qū)間A上的值域是[4，5]，求區(qū)間長(zhǎng)度最大的A（注：區(qū)間長(zhǎng)度=區(qū)間的右端點(diǎn)-區(qū)間的左斷點(diǎn)）；
（3）若（1）中函數(shù)的定義域是[2，+∞）解不等式f（a²-a）≥f（2a+4）．

Answer 1

分析：（1）利用性質(zhì)，討論

a

與區(qū)間（0，a]的關(guān)系，從而利用最小值是4，建立條件關(guān)系．
（2）根據(jù)值域?yàn)閇4，5]，確定對(duì)應(yīng)的變量x，然后判斷最大的區(qū)間．
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可．

解答：解：（1）由題意的：函數(shù)f（x）在(0，

a

]上單調(diào)遞減，在[

a

，+∞)上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞

a

時(shí)，即a＞1時(shí)函數(shù)在x=

a

處取得最小值，
∴f（

a

）=2

a

=4，解得a=4，
當(dāng)a＜

a

時(shí)，即0＜a＜1時(shí)，函數(shù)在x=a處取得最小值，
∴f（a）=a+1=4，解得a=3不符合題意，舍去．
綜上可得 a=4．
（2）由（1）得f（x）=x+

4

x

，又x=2時(shí)函數(shù)取得最小值4，
令x+

4

x

=5，則x²-5x+4=0，解得 x=1或 x=4，
又2∈[1，4]，
∴區(qū)間長(zhǎng)度最大的A=[1，4]．
（3）由（1）知函數(shù)在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴原不等式等價(jià)于

a2-a≥2 2a+4≥2 2a+4≤a2-a

，
解得a≥4或a=-1，
∴不等式的解集{a|a≥4或a=-1}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查學(xué)生的理解和應(yīng)用能力．