已知函數(shù)y=x+
t
x
有如下性質(zhì):如果常數(shù)t>0,那么該函數(shù)在(0,
t
]上是減函數(shù),在[
t
,+∞)上是增函數(shù).
(1)若f(x)=x+
a
x
,函數(shù)在(0,a]上的最小值為4,求a的值;
(2)對于(1)中的函數(shù)在區(qū)間A上的值域是[4,5],求區(qū)間長度最大的A(注:區(qū)間長度=區(qū)間的右端點-區(qū)間的左斷點);
(3)若(1)中函數(shù)的定義域是[2,+∞)解不等式f(a2-a)≥f(2a+4).
分析:(1)利用性質(zhì),討論
a
與區(qū)間(0,a]的關(guān)系,從而利用最小值是4,建立條件關(guān)系.
(2)根據(jù)值域為[4,5],確定對應(yīng)的變量x,然后判斷最大的區(qū)間.
(3)利用函數(shù)的單調(diào)性,解不等式即可.
解答:解:(1)由題意的:函數(shù)f(x)在(0,
a
]
上單調(diào)遞減,在[
a
,+∞)
上單調(diào)遞增,
當a>
a
時,即a>1時函數(shù)在x=
a
處取得最小值,
∴f(
a
)=2
a
=4,解得a=4,
當a<
a
時,即0<a<1時,函數(shù)在x=a處取得最小值,
∴f(a)=a+1=4,解得a=3不符合題意,舍去.
綜上可得 a=4.
(2)由(1)得f(x)=x+
4
x
,又x=2時函數(shù)取得最小值4,
令x+
4
x
=5,則x2-5x+4=0,解得 x=1或 x=4,
又2∈[1,4],
∴區(qū)間長度最大的A=[1,4].
(3)由(1)知函數(shù)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,
∴原不等式等價于
a2-a≥2
2a+4≥2
2a+4≤a2-a
,
解得a≥4或a=-1,
∴不等式的解集{a|a≥4或a=-1}.
點評:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查學(xué)生的理解和應(yīng)用能力.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=|x|+1,y=
x2-2x+2+t
y=
1
2
(x+
1-t
x
)
(x>0)的最小值恰好是方程x3+ax2+bx+c=0的三個根,其中0<t<1.
(Ⅰ)求證:a2=2b+3;
(Ⅱ)設(shè)(x1,M),(x2,N)是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的兩個極值點.
①若|x1-x2|=
2
3
,求函數(shù)f(x)的解析式;
②求|M-N|的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)h(x)=x+
3
x
在[
3
,∞)
上是增函數(shù);
(2)我們可將問題(1)的情況推廣到以下一般性的正確結(jié)論:已知函數(shù)y=x+
t
x
有如下性質(zhì):如果常數(shù)t>0,那么該函數(shù)在(0,
t
]
上是減函數(shù),在[
t
,+∞)
上是增函數(shù).
若已知函數(shù)f(x)=
4x2-12x-3
2x+1
,x∈[0,1],利用上述性質(zhì)求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;又已知函數(shù)g(x)=-x-2a,問是否存在這樣的實數(shù)a,使得對于任意的x1∈[0,1],總存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,若不存在,請說明理由;如存在,請求出這樣的實數(shù)a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=x+
t
x
有如下性質(zhì):如果常數(shù)t>0,那么該函數(shù)(0,
t
]上是減函數(shù),在[
t
,+∞)上是增函數(shù).
(1)已知f(x)=
4x2-12x-3
2x+1
,x∈[0,1],利用上述性質(zhì),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域.
(2)對于(1)中的函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x),若對于任意的x1∈[0,1],總存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求實數(shù)a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=|x|+1,y=
x2-2x+2+t
,y=
1
2
(x+
1-t
x
)(x>0)的最小值恰好是方程x3+ax2+bx+c=0的三個根,其中0<t<1
(1)求證:a2=2b+3;
(2)設(shè)(x1,M),(x2,N)是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的兩個極值點,若|x1-x2|=
2
3
,求函數(shù)f(x)的解析式.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案