Question

建造一個(gè)容積為8m³、深為2m的長方體形無蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)分別為120元/m²和80元/m²．
（1）求總造價(jià)y（元）關(guān)于底面一邊長x（m）的函數(shù)解析式；
（2）指出（1）所求函數(shù)在區(qū)間（0，2）和（2，+∞）上的單調(diào)性；并選其中一個(gè)給予證明．
（3）說明如何建造使得總造價(jià)最少．

Answer 1

分析：（1）底面一邊長x，另一邊長為

4

x

，底面積為4，側(cè)面積為2×2x+2×

8

x

，所以總造價(jià)y可以表示出來；
（2）總造價(jià)函數(shù)y=（x+

4

x

）×320+480（其中x＞0），用導(dǎo)數(shù)法容易證明它在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）由（2）知，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y的值最小，即造價(jià)最少．

解答：解：（1）設(shè)底面一邊長x（m），那么令一邊長為

4

x

（m），如圖：
總造價(jià)為：y=（2×2x+2×

8

x

）×80+4×120=（x+

4

x

）×320+480（其中x＞0）；
（2）函數(shù)y=（x+

4

x

）×320+480（其中x＞0），在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增；
現(xiàn)在用導(dǎo)數(shù)法證明：∵y^′=320（1-

4

x2

），令y^′=0，則x=±2，只取x=2，∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y^′＜0，
所以，函數(shù)y在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減，是減函數(shù)；
（3）由（2）分析知，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y的值最小，即當(dāng)?shù)酌孢呴L為2（m）的正方形時(shí)，建造的水池造價(jià)最少．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了長方形模型的應(yīng)用，由長方形的側(cè)面積建立函數(shù)解析式，由解析式判斷單調(diào)性并求最值，是中檔題．