【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M為PC的中點(diǎn).
(1)求異面直線AP,BM所成角的余弦值;
(2)點(diǎn)N在線段AD上,且AN=λ,若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為,求λ的值.
【答案】(1).(2)1
【解析】
(1)先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,求得向量和向量的坐標(biāo),再利用線線角的向量方法求解.
(2,由AN=λ,設(shè)N(0,λ,0)(0≤λ≤4),則=(-1,λ-1,-2),再求得平面PBC的一個(gè)法向量,利用直線MN與平面PBC所成角的正弦值為,由|cos〈,〉|===求解.
(1) 因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD,且AB,AD平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.
又因?yàn)椤?/span>BAD=90°,所以PA,AB,AD兩兩互相垂直.
分別以AB,AD,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則由AD=2AB=2BC=4,PA=4可得
A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).
又因?yàn)?/span>M為PC的中點(diǎn),所以M(1,1,2).
所以=(-1,1,2),=(0,0,4),
所以cos〈,〉=
==,
所以異面直線AP,BM所成角的余弦值為.
(2) 因?yàn)?/span>AN=λ,所以N(0,λ,0)(0≤λ≤4),
則=(-1,λ-1,-2),=(0,2,0),=(2,0,-4).
設(shè)平面PBC的法向量為=(x,y,z),
則即
令x=2,解得y=0,z=1,
所以=(2,0,1)是平面PBC的一個(gè)法向量.
因?yàn)橹本MN與平面PBC所成角的正弦值為,
所以|cos〈,〉|===,
解得λ=1∈[0,4],
所以λ的值為1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,平面,,,且,,,分別為棱,,,的中點(diǎn).
(I)證明:直線與共面;
(Ⅱ)證明:平面平面;并試寫(xiě)出到平面的距離(不必寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡(jiǎn)稱(chēng),旨在積極發(fā)展我國(guó)與沿線國(guó)家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系,共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運(yùn)共同體.自2013年以來(lái),“一帶一路”建設(shè)成果顯著.下圖是2013-2017年,我國(guó)對(duì)“一帶一路”沿線國(guó)家進(jìn)出口情況統(tǒng)計(jì)圖.下列描述錯(cuò)誤的是( )
A.這五年,2013年出口額最少
B.這五年,出口總額比進(jìn)口總額多
C.這五年,出口增速前四年逐年下降
D.這五年,2017年進(jìn)口增速最快
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=3,D是BC的中點(diǎn).
(1) 求直線DC1與平面A1B1D所成角的正弦值;
(2) 求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知底面ABCD的邊長(zhǎng)AB=3,側(cè)棱AA1=2,E是棱CC1的中點(diǎn),點(diǎn)F滿(mǎn)足 =2.
(1)求異面直線FE和DB1所成角的余弦值;
(2)記二面角E-B1F-A的大小為θ,求|cosθ|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地實(shí)行垃圾分類(lèi)后,政府決定為三個(gè)小區(qū)建造一座垃圾處理站M,集中處理三個(gè)小區(qū)的濕垃圾.已知在的正西方向,在的北偏東方向,在的北偏西方向,且在的北偏西方向,小區(qū)與相距與相距.
(1)求垃圾處理站與小區(qū)之間的距離;
(2)假設(shè)有大、小兩種運(yùn)輸車(chē),車(chē)在往返各小區(qū)、處理站之間都是直線行駛,一輛大車(chē)的行車(chē)費(fèi)用為每公里元,一輛小車(chē)的行車(chē)費(fèi)用為每公里元(其中為滿(mǎn)足是內(nèi)的正整數(shù)) .現(xiàn)有兩種運(yùn)輸濕垃圾的方案:
方案1:只用一輛大車(chē)運(yùn)輸,從出發(fā),依次經(jīng)再由返回到;
方案2:先用兩輛小車(chē)分別從運(yùn)送到,然后并各自返回到,一輛大車(chē)從直接到再返回到.試比較哪種方案更合算?請(qǐng)說(shuō)明理由. 結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近年來(lái),隨著網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機(jī)的更新?lián)Q代,各種方便的相繼出世,其功能也是五花八門(mén).某大學(xué)為了調(diào)查在校大學(xué)生使用的主要用途,隨機(jī)抽取了名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,各主要用途與對(duì)應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示,現(xiàn)有如下說(shuō)法:
①可以估計(jì)使用主要聽(tīng)音樂(lè)的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù);
②可以估計(jì)不足的大學(xué)生使用主要玩游戲;
③可以估計(jì)使用主要找人聊天的大學(xué)生超過(guò)總數(shù)的.
其中正確的個(gè)數(shù)為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】分形幾何是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家芒德勃羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門(mén)數(shù)學(xué)新分支,其中的“謝爾賓斯基”圖形的作法是:先作一個(gè)正三角形,挖去一個(gè)“中心三角形”(即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形),然后在剩下的每個(gè)小正三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”.按上述方法無(wú)限連續(xù)地作下去直到無(wú)窮,最終所得的極限圖形稱(chēng)為“謝爾賓斯基”圖形(如圖所示),按上述操作7次后,“謝爾賓斯基”圖形中的小正三角形的個(gè)數(shù)為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】淮北市第一次模擬考試?yán)砜乒部颊Z(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物六科,安排在某兩日的四個(gè)半天考完,每個(gè)半天考一科或兩科.若語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理三科中任何兩科不能排在同一個(gè)半天,則此次考試不同安排方案的種數(shù)有( )(同一半天如果有兩科考試不計(jì)順序)
A.B.C.D.
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