Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-3|，g（x）=a-|x-2|．
（Ⅰ）若關于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）＜g（x）的解集為$（b，\frac{7}{2}）$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）=a-|x-2|取最大值為a，f（x）的最小值4，利用關于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）＜g（x）的解集為$（b，\frac{7}{2}）$，代入相應函數(shù)，求出a，b，即可求a+b的值．

解答 解：（Ⅰ）當x=2時，g（x）=a-|x-2|取最大值為a，
∵f（x）=|x+1|+|x-3|≥4，當且僅當-1≤x≤3，f（x）取最小值4，
∵關于x的不等式f（x）＜g（x）有解，
∴a＞4，即實數(shù)a的取值范圍是（4，+∞）．
（Ⅱ）當$x=\frac{7}{2}$時，f（x）=5，
則$g（\frac{7}{2}）=-\frac{7}{2}+a+2=5$，解得$a=\frac{13}{2}$，
∴當x＜2時，$g（x）=x+\frac{9}{2}$，
令$g（x）=x+\frac{9}{2}=4$，得$x=-\frac{1}{2}$∈（-1，3），
∴$b=-\frac{1}{2}$，則a+b=6．

點評 本題考查絕對值不等式，考查不等式的解法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．