Question

已知函數(shù)y=

x

x-1

，則下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A．該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱
• B．該函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=2-x對(duì)稱
• C．該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減
• D．將該函數(shù)圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)y=

  1

  x

  的圖象重合

Answer 1

分析：由于y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

，把y=

1

x

向右，向上分別平移1個(gè)單位即可得到y(tǒng)=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

的圖象，從而可得y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

的圖象可判斷選項(xiàng)A，D
由于函數(shù)y=

1

x

的圖象關(guān)于y=-x對(duì)稱，根據(jù)函數(shù)的圖象的平移可知函數(shù)y=

x

x-1

的圖象關(guān)于y=-（x-1）+1=2-x對(duì)稱；y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

在（1，+∞），（-∞，1）單調(diào)遞減，但在整個(gè)定義域內(nèi)不具備單調(diào)性，

解答：解：∵y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

把y=

1

x

向右，向上分別平移1個(gè)單位即可得到y(tǒng)=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

的圖象，從而可得y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱，故A正確，D正確
由于函數(shù)y=

1

x

的圖象關(guān)于y=-x對(duì)稱，根據(jù)函數(shù)的圖象的平移可知函數(shù)y=

x

x-1

的圖象關(guān)于y=-（x-1）+1=2-x對(duì)稱，故B正確
y=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

在（1，+∞），（-∞，1）單調(diào)遞減，但在整個(gè)定義域內(nèi)不具備單調(diào)性，故C錯(cuò)誤
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了函數(shù)的圖象的平移，函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是以反比例函數(shù)為模型，結(jié)合函數(shù)的圖象變換