Question

12．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，a_n+2=$\frac{1}{2}$a_n，若數列{a_n}的前2n項和S_2n＜3p+1恒成立，則實數p的取值范圍是[$\frac{7}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 a₁=1，a₂=3，a_n+2=$\frac{1}{2}$a_n，可得：數列{a_n}的奇數項與偶數項分別成等比數列，利用等比數列的前n項和公式可得：S_2n，轉化為（S_2n）_max≤3p+1，即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a₂=3，a_n+2=$\frac{1}{2}$a_n，
∴數列{a_n}的奇數項與偶數項分別成等比數列，
∴數列的前2n項和S_2n=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{3[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=8$[1-（\frac{1}{2}）^{n}]$．
∵數列{a_n}的前2n項和S_2n＜3p+1恒成立，
∴8$[1-（\frac{1}{2}）^{n}]$＜3p+1恒成立．
∴（S_2n）_max≤3p+1，
∴8≤3p+1，
解得p≥$\frac{7}{3}$．
∴實數p的取值范圍是[$\frac{7}{3}$，+∞）．
故答案為：[$\frac{7}{3}$，+∞）．

點評 本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式、恒成立轉化問題、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．