Question

2．如圖所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長與側(cè)棱長均為2，D為AC中點(diǎn)．
（1）求證：B₁C∥平面A₁DB；
（2）求直線BD與平面A₁BC₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AB₁，交A₁B于點(diǎn)O，由三角形中位線定理得OD∥B₁C，由此能證明B₁C∥平面A₁DB．
（2）取A₁C₁中點(diǎn)E，以D為原點(diǎn)，DC為x軸，DB為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此利用向量法能求出直線BD與平面A₁BC₁所成的角的正弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)AB₁，交A₁B于點(diǎn)O，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，ABB₁A₁是矩形，
∴O是AB₁中點(diǎn)，
∵D為AC中點(diǎn)，∴OD∥B₁C，
∵OD?平面A₁DB，B₁C?平面A₁DB，
∴B₁C∥平面A₁DB．
解：（2）取A₁C₁中點(diǎn)E，以D為原點(diǎn)，DC為x軸，DB為y軸，DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長與側(cè)棱長均為2，D為AC中點(diǎn)，
∴B（0，$\sqrt{3}$，0），D（0，0，0），A₁（-1，0，2），C₁（1，0，2），
$\overrightarrow{BD}$=（0，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-1，-$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（1，-$\sqrt{3}$，2），
設(shè)平面A₁BC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=-x-\sqrt{3}y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=x-\sqrt{3}y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，2$\sqrt{3}$，3），
設(shè)直線BD與平面A₁BC₁所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BD}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-6}{\sqrt{3}×\sqrt{21}}$|=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
∴直線BD與平面A₁BC₁所成的角的正弦值為$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．