Question

已知函數(shù)．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)分式不等式的解法將f（x）＞0變形整理，再分類討論并結(jié)合一元二次不等式解集的公式，即可得到原不等式的解集．
（2）不等式f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，化簡整理可得在（0，+∞）上恒成立，根據(jù)基本不等式求出左邊的最小值為4，由此即可得到實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）不等式f（x）＞0，即＞0
整理，得＞0，等價于ax（x-2a）＜0
因為a≠0，可得
①a＞0時，解之得0＜x＜2a；②a＜0時，等價于x（x-2a）＞0，解之得x＜2a或x＞0
綜上所述，得：
當(dāng)a＞0時，原不等式的解集為（0，2a）；a＜0時，原不等式的解集為（-∞，2a）∪（0，+∞）．
（2）f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，即
在（0，+∞）上恒成立，整理得：
根據(jù)基本不等式，得=4
∴不等式（0，+∞）上恒成立，即4，解之得a＜0或a．
綜上所述，得a的取值范圍為（-∞，0）∪[，+∞）
點評：本題給出含有參數(shù)的函數(shù)，討論不等式恒成立并求不等式的解集，著重考查了函數(shù)恒成立的問題、基本不等式求最值和一元二次不等式的解集等知識，屬于基礎(chǔ)題．