Question

（22）如圖，F(xiàn)為雙曲線(xiàn)C：的右焦點(diǎn)。P為雙曲線(xiàn)C右支上一點(diǎn)，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知四邊形為平行四邊形，。

（Ⅰ）寫(xiě)出雙曲線(xiàn)C的離心率與的關(guān)系式；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且平行于OP的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A、B點(diǎn)，若，求此時(shí)的雙曲線(xiàn)方程。

Answer 1

(22)本小題主要考查直線(xiàn)方程、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力及推理能力.

(Ⅰ)解法1:設(shè)為與雙曲線(xiàn)右準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn),則

.

即

解法2：設(shè)為PM與雙曲線(xiàn)右準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)，N為左準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，F(xiàn)（c,0）,P()，由于P()在雙曲線(xiàn)右支上，則

                             ①

                                 ②

由|PF|=得

                                      ③

由①、②代入③得

      

再將c=ea,b=a代入上式，得

      

化簡(jiǎn)，得

                                            ④

由題意，點(diǎn)P位于雙曲線(xiàn)右支上，從而

|PM|＞|M|.

于是解得e=2，

從而c=2a,b=

由此得雙曲線(xiàn)的方程是

      

．

下面確定a的值。

解法1：

設(shè)雙曲線(xiàn)左準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為N，P點(diǎn)的坐標(biāo)為()，則

        |ON|=

        |MN|=

由于P()在雙曲線(xiàn)的右支上，且位于x軸上方，因而

所以直線(xiàn)OP的斜率為。

設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F且平行于OP的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)為A（)、B()，則直線(xiàn)AB的斜率為，直線(xiàn)AB的方程為

          

將其代入雙曲線(xiàn)方程整理得

          

∵        

∴  |AB|=

       

由|AB|=12得a=1.于是，所求雙曲線(xiàn)的方程為

      

解法2：由條件OFPM為菱形，其對(duì)角線(xiàn)OP與FM互相垂直平分，其交點(diǎn)Q為OP的中點(diǎn)。

設(shè)OP的方程為則FM的方程為

       

由解得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（），

所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）.

將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程，化簡(jiǎn)得

       

解得

設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F且平行于OP的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)為、，則直線(xiàn)AB的斜率為，直線(xiàn)AB的方程為

將其代入雙曲線(xiàn)方程，整理得

        

∵     

∴

 

由|AB|=12得a=1.于是，所求雙曲線(xiàn)的方程為