Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn=3an﹣3，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn滿足 = +1且b1=1．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn= ，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Pn；
（3）數(shù)列{Sn}中是否存在不同的三項(xiàng)Sp ， Sq ， Sr ， 使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出p，q，r的關(guān)系；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2Sn=3an﹣3，

當(dāng)n=1時(shí)，2a1=3a1﹣3，

∴a1=3．

當(dāng)n≥2時(shí)，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=（3an﹣3）﹣（3an﹣1﹣3），

∴an=3an﹣1．

∴{an}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．

∴an=3n．

∵ = +1，

∴ ﹣ =1，

∴{ }是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，

∴ =n．即Tn=n2．

當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Tn﹣Tn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．

當(dāng)n=1時(shí)，上式仍成立，

∴bn=2n﹣1．

（2）解：由（1）知cn= ．

∴Pn=c1+c2+c3+…+cn= + + + …+ ．①

∴ Pn= + + +…+ + ．②

①﹣②得： Pn= +2 +2 +2 +…+2 ﹣ = +2 ﹣ = ﹣ ．

∴Pn=1﹣ ．

（3）解：由（1）知{an}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，

∴Sn= = ．

假設(shè)數(shù)列{Sn}中存在不同的三項(xiàng)Sp，Sq，Sr，使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列，

∴Sp+Sr=2Sq．即 + =3q+1﹣3．

∴ ．即3p+3r=23q．

則3p（1+3r﹣p）=23q．

∴ ，

∴p=q=r．與假設(shè)矛盾、

∴數(shù)列{Sn}中不存在不同的三項(xiàng)Sp，Sq，Sr，使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列

【解析】（1）根據(jù)an= 得出{an}為等比數(shù)列，由{ }為等差數(shù)列求出{ }的通項(xiàng)公式，再得出數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）使用錯(cuò)位相減法求和；（3）假設(shè)存在三項(xiàng)成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡得出矛盾．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．