Question

4．本著健康、低碳的生活理念，租用公共自行車的人越來越多．租用公共自行車的收費標準是每車每次不超過兩小時免費，超過兩小時的部分每小時2元（不足1小時的部分按1小時計算）．甲乙兩人相互獨立租車（各租一車一次）．設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$；兩人租車時間都不會超過四小時．
（1）求出甲、乙所付租車費用相同的概率；
（2）設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量X，求隨機變量X的概率分布和期望．

Answer 1

分析 （1）根據互斥事件的概率計算公式求出對應的概率值；
（2）根據題意知X的取值，求出對應的概率，寫出分布列，計算數學期望值．

解答 解：（1）甲、乙所付費用相同時，為0，2，4元，
所求的概率為$P=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{3}$；
（2）根據題意，X的取值為0，2，4，6，8，
則$P（X=0）=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，
$P（X=2）=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$，
$P（X=4）=\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{3}$，
$P（X=6）=\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$，
$P（X=8）=\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$；
則X的分布列為：

X	0	2	4	6	8
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{12}$

數學期望為E（X）=0×$\frac{1}{6}$+2×$\frac{1}{4}$+4×$\frac{1}{3}$+6×$\frac{1}{6}$+8×$\frac{1}{12}$=$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查了古典概型的概率以及隨機變量的分布列和數學期望問題，是中檔題．