Question

4．給出下列四個命題：
①函數(shù)y=-$\frac{1}{x}$在R上單調(diào)遞增；
②函數(shù)y=$\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{{|{x+2}|-2}}$為奇函數(shù)；
③若函數(shù)f（2x）的定義域為[1，2]，則函數(shù)f（2^x）的定義域為[1，2]；
④若函數(shù)y=x²+2（a-1）x+2在（-∞，4）上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3）．
其中正確的序號是②③．

Answer 1

分析 分析函數(shù)的單調(diào)性，可判斷①；分析函數(shù)的奇偶性，可判斷②；分析函數(shù)的定義域，可判斷③；結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出實數(shù)a的取值范圍，可判斷④．

解答 解：①函數(shù)y=-$\frac{1}{x}$在（-∞，0）和（0，+∞）上單調(diào)遞增，但在R上不具有單調(diào)性，故錯誤；
②函數(shù)y=$\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{{|{x+2}|-2}}$的定義域為[-1，0）∪（0，1]關(guān)于原點對稱函數(shù)y=f（x）=$\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{{|{x+2}|-2}}$=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$，則f（-x）=-f（x）在定義域內(nèi)恒成立，即函數(shù)為奇函數(shù)，故正確；
③若函數(shù)f（2x）的定義域為[1，2]，則2x∈[2，4]，由2^x∈[2，4]得：x∈[1，2]，故函數(shù)f（2^x）的定義域為[1，2]，故正確；
④若函數(shù)y=x²+2（a-1）x+2的圖象是開口朝上，且以直線x=1-a為對稱軸的拋物線，若函數(shù)在（-∞，4）上是減函數(shù)，則4≤1-a，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3]，故錯誤．
故答案為：②③．

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，定義域等知識點，難度中檔．