Question

14．給定平面上四點(diǎn)O，A，B，C滿足OA=4，OB=2，OC=2，$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=2，則△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}+4$．

Answer 1

分析 先利用向量的數(shù)量積公式，求出∠BOC=60°，利用余弦定理求出BC，由等面積可得O到BC的距離，即可求出△ABC面積的最大值．

解答 解：：∵OB=2，OC=2，$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=2，
∴cos∠BOC=$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|}=\frac{2}{2×2}=\frac{1}{2}$，則∠BOC=60°，
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}-2×2×2×\frac{1}{2}}=2$，
設(shè)O到BC的距離為h，則由等面積可得$\frac{1}{2}$×2h=$\frac{1}{2}×2×2sin60°$，
∴h=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴△ABC面積的最大值為$\frac{1}{2}$×2×（$\sqrt{3}+4$）=$\sqrt{3}+4$．
故答案為：$\sqrt{3}+4$．

點(diǎn)評 本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，求出BC，O到BC的距離是關(guān)鍵，是中檔題．