Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax-$\frac{x}$-2lnx，f（1）=0
（1）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？
（2）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，且a_n+1=f′（$\frac{1}{{a}_{n}+1}$）-na_n+1，若a₁≥3，求證：a_n≥n+2．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=0，可得a=b，代入原函數(shù)，由函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則f′（x）在（0，+∞）恒大于等于0或恒小于等于0，然后對a分類分析，求得滿足條件的a的取值范圍；
（2）由題意可得，f′（1）=0，即a+a-2=0，得a=1，求得f′（x）=$（\frac{1}{x}-1）^{2}$，代入a_n+1=f′（$\frac{1}{{a}_{n}+1}$）-na_n+1，求得數(shù)列遞推式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明a_n≥n+2．

解答 （1）解：∵f（x）=ax-$\frac{x}$-2lnx，且f（1）=0，
∴a-b=0，即a=b，則f（x）=ax-$\frac{a}{x}-2lnx$，f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$．
要使函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則f′（x）在（0，+∞）恒大于等于0或恒小于等于0，
當(dāng)a=0時，則f′（x）=$-\frac{2}{x}＜0$恒成立，適合題意；
當(dāng)a＞0時，要使f′（x）=$a（\frac{1}{x}-\frac{1}{a}）^{2}+a-\frac{1}{a}≥0$恒成立，則$a-\frac{1}{a}≥0$，解得a≥1；
當(dāng)a＜0時，由f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$＜0恒成立，適合題意．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞）；
（2）由題意可得，f′（1）=0，即a+a-2=0，得a=1，
∴f′（x）=$（\frac{1}{x}-1）^{2}$，
于是a_n+1=f′（$\frac{1}{{a}_{n}+1}$）-na_n+1=${{a}_{n}}^{2}-n{a}_{n}+1$．
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
當(dāng)n=1時，a₁≥3=1+2，
假設(shè)當(dāng)n=k時成立（k≥1，且k∈N^*），即a_k≥k+2，即a_k-k≥2成立，
則當(dāng)n=k+1時，a_k+1=a_k（a_k-k）+1≥（k+2）×2+1=2k+5＞2（k+1）+2．
∴n=k+1時，結(jié)論成立．
綜上，a_n≥n+2．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，屬中檔題．