Question

7．過拋物線y²=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，作AC，BD垂直拋物線的準(zhǔn)線l于C，D，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是①②③．（填序號）
①$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}$；
②存在λ∈R，使得$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AO}$成立；
③$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}$=0；
④準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)M，都使得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$＞0．

Answer 1

分析 由向量的三角形法則，可得①正確；運(yùn)用直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量共線的條件，化簡整理，即可判斷②正確；運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及韋達(dá)定理，即可判斷③正確；運(yùn)用拋物線的定義以及以AB為直徑的圓的半徑與梯形ACDB的中位線長相等，可得該圓與CD相切，即可判斷④不正確．

解答 解：對于①，由$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BD}$-$\overrightarrow{BA}$，可得①正確；
對于②，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得C（-$\frac{p}{2}$，y₁），D（-$\frac{p}{2}$，y₂），
又k_OA=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}}$，k_AD=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$，設(shè)直線AB方程為x=my+$\frac{p}{2}$．
代入拋物線的方程，可得y²-2pmy-p²=0，
可得y₁y₂=-p²，即有y₁（y₁-y₂）=y₁²-y₁y₂=2px₁+p²，
則k_OA=k_AD，即有存在λ∈R，使得$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AO}$成立，則②正確；
對于③，$\overrightarrow{FC}$•$\overrightarrow{FD}$=（-p，y₁）•（-p，y₂）=y₁y₂+p²=0，可得③正確；
對于④，由拋物線的定義可得|AB|=|AC|+|BD|，
可得以AB為直徑的圓的半徑與梯形ACDB的中位線長相等，
即有該圓與CD相切，設(shè)切點(diǎn)為M，即有AM⊥BM，則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$=0，
則④不正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，同時(shí)考查向量的加減和數(shù)量積運(yùn)算，考查直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．