Question

對于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“﹡”：a*b=設(shè)f（x）=（2x-1）﹡（x-1），且關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，則x₁x₂x₃的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)所給的新定義，寫出函數(shù)的分段形式的解析式，畫出函數(shù)的圖象，在圖象上可以看出當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)m的取值，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，寫出兩個(gè)根的積和第三個(gè)根，表示出三個(gè)根之積，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出關(guān)于m的函數(shù)的值域，得到結(jié)果．
解答：解：∵2x-1≤x-1時(shí)，有x≤0，
∴根據(jù)題意得f（x）=
即f（x）=
畫出函數(shù)的圖象從圖象上觀察當(dāng)關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，m的取值范圍是（0，），
當(dāng)-x²+x=m時(shí)，有x₁x₂=m，
當(dāng)2x²-x=m時(shí)，由于直線與拋物線的交點(diǎn)在y軸的左邊，得到，
∴x₁x₂x₃=m（）=，m∈（0，）
令y=，
則，又在m∈（0，）上是增函數(shù)，故有h（m）＞h（0）=1
∴＜0在m∈（0，）上成立，
∴函數(shù)y=在這個(gè)區(qū)間（0，）上是一個(gè)減函數(shù)，
∴函數(shù)的值域是（f（），f（0）），即
故答案為：
點(diǎn)評：本題考查分段函數(shù)的圖象，考查新定義問題，這種問題解決的關(guān)鍵是根據(jù)新定義寫出符合條件的解析式，本題是一個(gè)綜合問題，涉及到導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，本題是一個(gè)中檔題目．