Question

已知函數(shù)y=f（x）為R上的偶函數(shù)，且對任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3）成立且f（0）=-2，當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，則下列命題中正確的有

 

．
①f（2013）=-2；
②y=f（x）圖象關(guān)于x=-6對稱；
③y=f（x）在[-9，-6]上為增函數(shù)；
④方程f（x）=0在[-9，9]上有4個實(shí)根．

Answer 1

分析：依據(jù)函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性與周期性對①②③④四個選項(xiàng)逐一判斷即可．

解答：解：對于①：∵y=f（x）為R上的偶函數(shù)，且對任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3），
∴令x=-3得：f（6-3）=f（-3）+f（3）=2f（3），
∴f（3）=0，
∴f（x+6）=f（x），
∴函數(shù)y=f（x）是以6為周期的函數(shù)，
∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=0，故①錯誤；
對于②：∵函數(shù)y=f（x）是以6為周期的偶函數(shù)，
∴f（-6+x）=f（x），f（-6-x）=f（x），
∴f（-6+x）=f（-6-x），
∴y=f（x）圖象關(guān)于x=-6對稱，即②正確；
對于③：∵當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴y=f（x）在區(qū)間[0，3]上為增函數(shù)，又函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，
∴y=f（x）在區(qū)間[-3，0]上為減函數(shù)，又函數(shù)y=f（x）是以6為周期的函數(shù)，
∴y=f（x）在區(qū)間[-9，-6]上為減函數(shù)，故③錯誤；
對于④：∵y=f（x）在區(qū)間[-3，0]上為減函數(shù)，在區(qū)間[0，3]上為增函數(shù)，且f（3）=f（-3）=0，
∴方程f（x）=0在[-3，3]上有2個實(shí)根（-3和3），又函數(shù)y=f（x）是以6為周期的函數(shù)，
∴方程f（x）=0在區(qū)間[-9，-3）上有1個實(shí)根（為-9），在區(qū)間（3，9]上有一個實(shí)根（為9），
∴方程f（x）=0在[-9，9]上有4個實(shí)根，故④正確．
綜上所述，命題中正確的有②④．
故答案為：②④．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性、單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題．