Question

（2012•泉州模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+lnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）已知a＜0，若函數(shù)y=f（x）的圖象總在直線y=-

1

2

的下方，求a的取值范圍；
（Ⅲ）記f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．若a=1，試問：在區(qū)間[1，10]上是否存在k（k＜100）個(gè)正數(shù)x₁，x₂，x₃…x_k，使得f′（x₁）+f'（x₂）+f′（x₃）+…+f′（x_k）≥2012成立？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f′(x)=-2x+

1

x

，f′（1）=-1，由此能求出函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．
（Ⅱ）f′(x)=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

=

2a(x2+ 1 2a )

x

，x＞0，a＜0．令f′（x）=0，則x=

- 1 2a

．由此能求出a的取值范圍．
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=2x+

1

x

．記g（x）=f′（x），其中x∈[1，10]．由此入手能夠推導(dǎo)出在區(qū)間[1，10]上不存在使得f'（x₁）+f'（x₂）+f'（x₃）+…+f'（x_k）≥2012成立的k（k＜100）個(gè)正數(shù)x₁，x₂，x₃…x_k．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=-x²+lnx，f′(x)=-2x+

1

x

，f′（1）=-1，
所以切線的斜率為-1．…（2分）
又f（1）=-1，所以切點(diǎn)為（1，-1）．
故所求的切線方程為：y+1=-（x-1）即x+y=0．…（4分）
（Ⅱ）f′(x)=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

=

2a(x2+ 1 2a )

x

，x＞0，a＜0．…（6分）
令f′（x）=0，則x=

- 1 2a

．
當(dāng)x∈(0，

- 1 2a

]時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈(

- 1 2a

，+∞)時(shí)，f′（x）＜0．
故x=

- 1 2a

為函數(shù)f（x）的唯一極大值點(diǎn)，
所以f（x）的最大值為f(

- 1 2a

)=-

1

2

+

1

2

ln(-

1

2a

)．…（8分）
由題意有-

1

2

+

1

2

ln(-

1

2a

)＜-

1

2

，解得a＜-

1

2

．
所以a的取值范圍為(-∞，-

1

2

)．…（10分）
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=2x+

1

x

．記g（x）=f′（x），其中x∈[1，10]．
∵當(dāng)x∈[1，10]時(shí)，g′(x)=2-

1

x2

＞0，∴y=g（x）在[1，10]上為增函數(shù)，
即y=f′（x）在[1，10]上為增函數(shù)．…（12分）
又f′(10)=2×10+

1

10

=

201

10

，
所以，對任意的x∈[1，10]，總有f′(x)≤

201

10

．
所以f'（x₁）+f'（x₂）+f'（x₃）+…+f'（x_k）≤k•f′(10)=

201

10

k，
又因?yàn)閗＜100，所以

201

10

k＜2010．
故在區(qū)間[1，10]上不存在使得f'（x₁）+f'（x₂）+f'（x₃）+…+f'（x_k）≥2012成立的k（k＜100）個(gè)正數(shù)x₁，x₂，x₃…x_k．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想及有限與無限思想．