Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+5的圖象在x=1處的切線l斜率為3，當x=

2

3

時，有極值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）對其進行求導(dǎo)，根據(jù)題意曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為3，可得f′（1）=3，若x=

2

3

時，y=f（x） 有極值可f′（

2

3

）=0，由此可以求出f（x）的解析式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究得出單調(diào)區(qū)間即可．
（3）考察當變化時，f（x），f′（x）變化情況求出最值．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由題意，得

f′( 2 3 )=3×( 2 3 )2+2a× 2 3 +b=0 f′(1)=3×12+2a×1+b=3

，解

a=2 b=-4

；
所以，f（x）=x³+2x²-4x+5
（2）f′（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f′（x）=0，得x₁=-2，x₂=

2

3

；
當x＜-2，或x＞

2

3

時，f′（x）＞0，單增區(qū)間是（-∞，-2），或（

2

3

，+∞）
當-2＜x＜

2

3

時，f′（x）＜0，單減區(qū)間是（-2，

2

3

）
（3）當變化時，f（x），f′（x）變化情況如下表

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1）	1
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）		↗	極大值	↘	極小值	↗
函數(shù)值	-2		13		95 27		4

由表可知，f（x）最小值=f（3）=-2，f（x）最大值=f（-2）=13

點評：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值問題，屬于常規(guī)題．