Question

設(shè)z=2x+y，變量x，y滿足條件

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1.

（1）求z的最大值z(mì)_max與最小值z(mì)_min；
（2）已知a＞0，b＞0，2a+b=z_max，求ab的最大值及此時(shí)a，b的值；
（3）已知a＞0，b＞0，2a+b=z_min，求

1

a

+

1

b

的最小值及此時(shí)a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）畫出約束條件表示的可行域，判斷目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求解z的最大值z(mì)_max與最小值z(mì)_min；
（2）通過a＞0，b＞0，2a+b=z_max，得到關(guān)系式，然后利用基本不等式即可求ab的最大值及此時(shí)a，b的值；
（3）通過a＞0，b＞0，2a+b=z_min，得到關(guān)系式，化簡(jiǎn)

1

a

+

1

b

為1+

2a

3b

+

b

3a

，利用基本不等式即可求解最小值及此時(shí)a，b的值．

解答： 解：（1）滿足條件

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1.

的可行域如圖
…（2分）
將目標(biāo)函數(shù)z=2x+y變形為y=-2x+z，它表示斜率為-2的直線，觀察圖形，可知當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)，z取得最小值．
由

x-4y+3=0 3x+5y-25=0

解得A（5，2），所以z_max=12．…（3分）
由

x-4y+3=0 x=1

解得B（1，1），所以z_min=3．…（4分）
（2）∵2a+b=12，又2a+b≥2

2a•b

，
∴2

2ab

≤12，∴ab≤18．…（6分）
當(dāng)且僅當(dāng)2a=b，即a=3，b=6時(shí)等號(hào)成立．
∴ab的最大值為18，此時(shí)a=3，b=6
（3）∵2a+b=3，
∴

1

a

+

1

b

=(

1

a

+

1

b

)(2a+b)=1+

2a

3b

+

b

3a

…（10分）≥1+2

2a 3b • b 3a

=1+

2 2

3

，…（11分）
當(dāng)且僅當(dāng)

2a

3b

=

b

3a

，即a=

6-3 2

2

，b=3

2

-3時(shí)，等號(hào)成立．
∴

1

a

+

1

b

的最小值為1+

2 2

3

，此時(shí)a=

6-3 2

2

，b=3

2

-3．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，基本不等式求解表達(dá)式的最值，基本知識(shí)的考查．