Question

已知圓C：x²+y²-4x-14y+45=0．
（1）若M是圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q（-2，3），求|MQ|的最大值與最小值．
（2）求μ=x-2y的最大值與最小值．
（3）求ν=

y-3

x+2

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓方程的綜合應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）將圓C：x²+y²-4x-14y+45=0可化為（x-2）²+（y-7）²=8，從而確定圓心與半徑，從而得到點(diǎn)Q在圓外，從而求|MQ|的最大值與最小值．
（2）由直線u=x-2y與圓C有公共點(diǎn)可得

|2-2×7-μ|

12+22

≤2

2

，從而求最值；
（3）ν=

y-3

x+2

的幾何意義是圓上一點(diǎn)M（x，y）與A（-2，3）連線的斜率，則當(dāng)直線y-νx-2ν-3=0與圓C相切時(shí)ν取的最值，與（2）相同．

解答： 解：（1）將圓C：x²+y²-4x-14y+45=0可化為
（x-2）²+（y-7）²=8，
則圓心C（2，7），半徑r=2

2

，
又∵Q（-2，3），
∴|QC|=4

2

，
∴點(diǎn)Q在圓外，
則由|QC|-2

2

≤|MQ|≤|QC|+2

2

得，
|MQ|max=6

2

，|MQ|min=2

2

．
（2）∵直線u=x-2y與圓C有公共點(diǎn)，
∴

|2-2×7-μ|

12+22

≤2

2

，
∴-2

10

-12≤μ≤2

10

-12．
∴μ=x-2y的最大值為2

10

-12，最小值為-2

10

-12．
（3）ν=

y-3

x+2

的幾何意義是圓上一點(diǎn)M（x，y）與A（-2，3）連線的斜率，
則當(dāng)直線y-νx-2ν-3=0與圓C相切時(shí)ν取的最值，
則

|7-2ν-2ν-3|

1+ν2

=2

2

，
解得ν=2-

3

或2+

3

，
則Vmax=2+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)在圓外時(shí)d-r≤|MQ|≤d+r，從而求最值，直線與圓相切時(shí)有最值，屬于中檔題．