12．已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，bn=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，解答下列問題：
（1）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式．

分析 （1）由數(shù)列{an}滿足a1=2，an=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，bn=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，作差bn+1-bn=1，即可證明；
（2）利用等差數(shù)列的通項公式可得bn，進而得到an．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{an}滿足a1=2，an=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，bn=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，
∴bn+1-bn=$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n}}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1，
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，首項與公差都為1．
（2）由（1）可得：bn=1+（n-1）=n，
∴bn=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=n，解得an=1+$\frac{1}{n}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

2．k∈Z時，$\frac{sin（kπ-α）•cos（kπ+α）}{sin[（k+1）π+α]•cos[（k+1）π+α]}$的值為（　�。�
A．-1B．1C．±1D．與α取值有關(guān)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和${S_n}=\frac{n}{n+2}$，則a6的值為（　�。�
A．$-\frac{1}{28}$B．$-\frac{1}{56}$C．$\frac{1}{28}$D．$\frac{1}{56}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

20．若關(guān)于x的不等式ax2+4ax+3≤0的解集為空集，則實數(shù)a的取值范圍是$[{0，\frac{3}{4}}）$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

7．以下判斷正確的是（　�。�
A．函數(shù)y=f（x）為R上的可導函數(shù)，則f′（x0）=0是x0為函數(shù)f（x）極值點的充要條件
B．命題“存在x∈R，x2+x-l＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x-l＞0”．
C．線性回歸方程y=$\hat bx$+a對應(yīng)的直線一定經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點（x1，y1）（x2，y2）、…，（xn，yn） 中的一個
D．“b=0”是“函數(shù)f（X）=ax2+bx+c是偶函數(shù)”的充要條件”

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

17．已知分段函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-{x}^{2}，x≤0}\\{2x+3，0＜x≤3}\end{array}\right.$，
（1）寫出函數(shù)的定義域；
（2）求f（-1），f（0），f（1），f（3）的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

4．設(shè)a=7${\;}^{-\frac{1}{2}}$，b=（$\frac{1}{7}$）${\;}^{-\frac{1}{3}}$，c=log7$\frac{1}{2}$，則下列關(guān)系中正確的是（　�。�
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．b＜c＜a

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．證明：$\frac{2sinαcosα}{（sinα+cosα-1）（sinα-cosα+1）}$=$\frac{1+cosα}{sinα}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

2．由1，3，5，…，2n-1，…構(gòu)成數(shù)列{an}，數(shù)列{bn}滿足b1=2，當n≥2時，${b_n}={a_{{b_{n-1}}}}$，則b6等于（　�。�
A．9B．17C．33D．65

查看答案和解析>>

同步練習冊答案