Question

15．設平面向量$\overrightarrow a=\overrightarrow{OA}$，定義以x軸非負半軸為始邊，逆時針方向為正方向，OA為終邊的角稱為向量$\overrightarrow a$的幅角．若r₁是向量$\overrightarrow a$的模，r₂是向量$\overrightarrow b$的模，$\overrightarrow a$的幅角是θ₁，$\overrightarrow b$的幅角是θ₂，定義$\overrightarrow a?\overrightarrow b$的結果仍是向量，它的模為r₁r₂，它的幅角為θ₁+θ₂．給出$\overrightarrow a=（\sqrt{3}，1），\overrightarrow b=（1，1）$．試用$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$的坐標表示$\overrightarrow a?\overrightarrow b$的坐標，結果為$\overrightarrow a?\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$+1）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，寫出向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的坐標表示，再計算$\overrightarrow a?\overrightarrow b$模與幅角的值，即可得出$\overrightarrow a?\overrightarrow b$的值．

解答 解：根據(jù)題意，$\overrightarrow a=2（cos\frac{π}{6}，sin\frac{π}{6}），\overrightarrow b=\sqrt{2}（cos\frac{π}{4}，sin\frac{π}{4}）$，
所以$\overrightarrow a?\overrightarrow b$的模是$2\sqrt{2}$，幅角為$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$，
且cos$\frac{5π}{12}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，sin$\frac{5π}{12}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
所以$\overrightarrow a?\overrightarrow b=（\sqrt{3}-1，\sqrt{3}+1）$．
故答案為：$\overrightarrow a?\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$+1）．

點評 本題考查了平面向量的坐標表示與運算問題，也考查了新定義的應用問題，是基礎題目．