當0≤x≤1時，不等式sin
πx2
≥kx成立，則實數(shù)k的取值范圍是
 
．
分析：此題先把常數(shù)k分離出來，再構造成k≤
sin
πx
2
x
再利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，使其最小值大于等于k即可．
解答：解：由題意知：
∵當0≤x≤1時 sin
πx
2
≥kx
   （1）當x=0時，不等式sin
πx
2
≥kx恒成立  k∈R
   （2）當0＜x≤1時，不等式sin
πx
2
≥kx可化為
      k≤
sin
πx
2
x
 
     要使不等式k≤
sin
πx
2
x
恒成立，則k≤(
sin
πx
2
x
)min成立
     令f（x）=
sin
πx
2
x
  x∈（0，1]
     即f'（x）=
π
2
xcos
πx
2
 -sin
πx
2
x2
            再令g（x）=
π
2
 xcos
πx
2
-sin
πx
2
     
     
     g'（x）=-
π2
4
xsin
πx
2
   
∵當0＜x≤1時，g'（x）＜0
∴g（x）為單調遞減函數(shù)
∴g（x）＜g（0）=0
∴f'（x）＜0
   即函數(shù)f（x）為單調遞減函數(shù)
   所以 f（x）min=f（1）=1      即k≤1
   綜上所述，由（1）（2）得  k≤1
   故此題答案為 k∈（-∞，1]．
點評：本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題型．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假：
（1）6是12和18的公約數(shù)；
（2）當a＞-1時，方程ax2+2x-1=0有兩個不等實根；
（3）已知x、y為非零自然數(shù)，當y-x=2時，y=4，x=2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f(x)=
2-x+a
1+x
（a為實常數(shù)），y=g（x）與y=e-x的圖象關于y軸對稱．
（1）若函數(shù)y=f[g（x）]為奇函數(shù)，求a的取值．
（2）當a=0時，若關于x的方程f[g(x)]=
g(x)
m
有兩個不等實根，求m的范圍；
（3）當|a|＜1時，求方程f（x）=g（x）的實數(shù)根個數(shù)，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+x．
（1）設函數(shù)g（x）=（1-2t）x+t2-1，當a=1，函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（-2，4）內(nèi)有兩個相異的零點，求實數(shù)t的取值范圍．
（2）當a＞0，求證對任意兩個不等的實數(shù)x1，x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
；
（3）若x∈[0，1]時，-1≤f（x）≤1，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的單調遞減函數(shù)y=f（x）滿足f（1-x）=-f（1+x），且對于任意x，y∈R，不等f（x2-2x）+f（y2-2y）≥0恒成立，則當x≥1時，
yx
的取值范圍為
[-1，3]
[-1，3]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•肇慶二模）設函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的圖象與直線y=4相切于M（1，4）．
（1）求y=f（x）在區(qū)間（0，4]上的最大值與最小值；
（2）是否存在兩個不等正數(shù)s，t（s＜t），當s≤x≤t時，函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的值域是[s，t]，若存在，求出所有這樣的正數(shù)s，t；若不存在，請說明理由．

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