Question

9．設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x²-3xy+4y²-z=0，則$\frac{z}{xy}$的最小值為1．

Answer 1

分析 根據(jù)條件x²-3xy+4y²-z=0分離出z=x²-3xy+4y²并代入$\frac{z}{xy}$，再裂項，最后運用基本不等式求其最小值．

解答 解：∵x²-3xy+4y²-z=0，
∴z=x²-3xy+4y²，又因為x，y，z為正實數(shù)，
因此，$\frac{z}{xy}$=$\frac{x^2-3xy+4y^2}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$-3，
根據(jù)基本不等式，$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$≥2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{4y}{x}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時，取“=”，
所以，$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$-3∈[1，+∞），
所以，$\frac{z}{xy}$的最小值為1，
故填：1．

點評 本題主要考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，涉及到整體代換，裂項等運算技巧，屬于中檔題．