Question

18．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x{e^x}+\frac{1}{e}，x≤0}\\{{x^2}-2x，x＞0}\end{array}}\right.$，若函數(shù)y=f（f（x）-a）有四個零點，則實數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成的集合是（1，1+$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 先運用導數(shù)求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，并作出圖象，再根據(jù)圖象列出函數(shù)有4個零點所需的條件．

解答 解：知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x{e^x}+\frac{1}{e}，x≤0}\\{{x^2}-2x，x＞0}\end{array}}\right.$，函數(shù)性質(zhì)分段討論如下：
①當x＞0時，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，最小值為-1，
②當x≤0時，令f'（x）=（x+1）e^x=0，解得x=-1，
 所以，x∈（-∞，-1）函數(shù)遞減，（-1，0）函數(shù)遞增，
 且f（0）=$\frac{1}{e}$，x→-∞時，f（x）→$\frac{1}{e}$，
綜合以上分析，作出函數(shù)圖象，如右圖．
由圖可知，函數(shù)y=f（x）有兩個零點，x=-1和x=2，----（*）
再考察函數(shù)y=f[f（x）-a]的零點，
由（*）可知，f（x）-a=-1或f（x）-a=2，
即f（x）=a-1或f（x）=a+2，根據(jù)題意，這兩個方程共有四個根，
結(jié)合函數(shù)圖象，a-1∈（0，$\frac{1}{e}$），解得，a∈（1，1+$\frac{1}{e}$），
故填：（1，1+$\frac{1}{e}$）．

點評 本題主要考查了函數(shù)零點的判定，以及函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并運用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)圖象得出零點個數(shù)，具有一定的綜合性，屬于難題．