Question

如圖：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=

3

，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（Ⅰ）求三棱錐E-PAD的體積；
（Ⅱ）當(dāng)點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅲ）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

Answer 1

（Ⅰ）三棱錐E-PAD的體積V=

1

3

PA•S△ADE=

1

3

PA•(

1

2

AD•AB)=

3

6

．（4分）
（Ⅱ）當(dāng)點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行．（5分）
∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點，
∴EF∥PC，又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．（8分）
（Ⅲ）證明：
∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴EB⊥PA，又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，又AF?平面PAB，
∴AF⊥BE．（10分）
又PA=AB=1，點F是PB的中點，
∴AF⊥PB，
又∵PB∩BE=B，PB，BE?平面PBE，
∴AF⊥平面PBE．
∵PE?平面PBE，
∴AF⊥PE．（12分）