【題目】已知向量,,,,函數(shù),的最小正周期為.
(1)求的單調(diào)增區(qū)間;
(2)方程;在上有且只有一個解,求實數(shù)n的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)m滿足對任意x1∈[-1,1],都存在x2∈R,使得++m(-)+1>f(x2)成立.若存在,求m的取值范圍;若不存在,說明理由.
【答案】(1),(2)或(3)存在,且m取值范圍為
【解析】
(1)函數(shù),的最小正周期為.可得,即可求解的單調(diào)增區(qū)間.
(2)根據(jù)x在上求解的值域,即可求解實數(shù)n的取值范圍;
(3)由題意,求解的最小值,利用換元法求解的最小值,即可求解m的范圍.
(1)函數(shù)f(x)1=2sin2(ωx)cos(2ωx)﹣1
=sin(2ωx)cos(2ωx)
=2sin(2ωx)
∵f(x)的最小正周期為π.ω>0
∴,
∴ω=1.
那么f(x)的解析式f(x)=2sin(2x)
令2x,k∈Z
得:x
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[,],k∈Z.
(2)方程f(x)﹣2n+1=0;在[0,]上有且只有一個解,
轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)+1與函數(shù)y=2n只有一個交點.
∵x在[0,]上,
∴(2x)
那么函數(shù)y=f(x)+1=2sin(2x)+1的值域為[,2],結(jié)合圖象可知
函數(shù)y=f(x)+1與函數(shù)y=2n只有一個交點.
那么2n<1或2n=2,
可得或n=1.
(3)由(1)可知f(x)=2sin(2x)
∴f(x2)min=﹣2.
實數(shù)m滿足對任意x1∈[﹣1,1],都存在x2∈R,
使得m()+1>f(x2)成立.
即m()+1>﹣2成立
令ym()+1
設t,那么()2+2=t2+2
∵x1∈[﹣1,1],
∴t∈[,],
可得t2+mt+5>0在t∈[,]上成立.
令g(t)=t2+mt+5>0,
其對稱軸t
∵t∈[,]上,
∴①當時,即m≥3時,g(t)min=g(),解得;
②當,即﹣3<m<3時,g(t)min=g()0,解得﹣3<m<3;
③當,即m≤﹣3時,g(t)min=g()0,解得m≤﹣3;
綜上可得,存在m,可知m的取值范圍是(,).
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【題目】 下列結(jié)論錯誤的是
A. 命題:“若,則”的逆否命題是“若,則”
B. “”是“”的充分不必要條件
C. 命題:“, ”的否定是“, ”
D. 若“”為假命題,則均為假命題
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【題目】已知是定義在上的奇函數(shù),且,若且時,有成立.
(1)判斷在上的單調(diào)性,并用定義證明;
(2)解不等式;
(3)若對所有的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某市乘坐出租車的收費辦法如下:
“不超過4千米的里程收費12元;超過4千米的里程按每千米2元收費(對于其中不足千米的部分,若其小于0.5千米則不收費,若其大于或等于0.5千米則按1千米收費;當車程超過4千米時,另收燃油附加費1元”,相應系統(tǒng)收費的程序框圖如圖所示,其中(單位:千米)為行駛里程,(單位:元)為所收費用,用表示不大于的最大整數(shù),則圖中①處應填( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】有下列四個說法:
①已知向量, ,若與的夾角為鈍角,則;
②先將函數(shù)的圖象上各點縱坐標不變,橫坐標縮小為原來的后,再將所得函數(shù)圖象整體向左平移個單位,可得函數(shù)的圖象;
③函數(shù)有三個零點;
④函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
其中正確的是__________.(填上所有正確說法的序號)
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【題目】設函數(shù)(a>0且a≠1)是奇函數(shù).
(1)求常數(shù)k的值;
(2)若已知f(1)=,且函數(shù)在區(qū)間[1,+∞])上的最小值為—2,求實數(shù)m的值.
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【題目】有甲、乙二人去看望高中數(shù)學張老師,期間他們做了一個游戲,張老師的生日是月日,張老師把告訴了甲,把告訴了乙,然后張老師列出來如下10個日期供選擇: 2月5日,2月7日,2月9日,3月2日,3月7日,5月5日,5月8日,7月2日,7月6日,7月9日.看完日期后,甲說“我不知道,但你一定也不知道”,乙聽了甲的話后,說“本來我不知道,但現(xiàn)在我知道了”,甲接著說,“哦,現(xiàn)在我也知道了”.請問張老師的生日是_______.
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