設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在R上,對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1
(1)求證:f(0)=1且當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1
(2)求證:f(x)在R上是減函數(shù);
(3)設(shè)集合A=(x,y)|f(-x2+6x-1)•f(y)=1,B=(x,y)|y=a,
且A∩B=∅,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】分析:(1)用賦值法求f(0),在構(gòu)造-x>0時(shí)對(duì)應(yīng)的f(-x),可得x<0時(shí),f(x)>1.
(2)利用定義來證,將f(x1)-f(x2)轉(zhuǎn)化為[f(x1-x2)-1]•f(x2)再利用在R上f(x)>0即可.
(3)先利用f(-x2+6x-1)•f(y)=1找到x,y的關(guān)系y=x2-6x+1,再利用A∩B=∅,求出a.
解答:(1)證明:∵f(m+n)=f(m)•f(n),m、n為任意實(shí)數(shù),
取m=0,n=2,則有f(0+2)=f(0)•f(2)
∵當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1,
∴f(2)≠0,∴f(0)=1
當(dāng)x<0時(shí),-x>0
∴0<f(-x)<1,則
取m=x,n=-x,則f(x-x)=f(0)=f(x)•f(-x)=1
則f(x-x)=f(0)=f(x)•f(-x)=1∴(6分)
(2)證明:由(1)及題設(shè)可知,在R上f(x)>0設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2,則x1-x2<0⇒f(x1-x2)>1∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)•f(x2)-f(x2)=[f(x1-x2)-1]•f(x2)(8分)
∵f(x1-x2)-1>0,f(x2)>0∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2
所以f(x)在R上是減函數(shù)(9分)
(3)解:在集合A中f(-x2+6x-1)•f(y)=1
由已知條件,有f(-x2+6x-1+y)=f(0)∴-x2+6x-1+y=0,即y=x2-6x+1(12分)
在集合B中,有y=a∵A∩B=∅,則拋物線y=x2-6x+1與直線y=a無交點(diǎn)∵y=x2-6x+1=(x-3)2-8,∴ymim=-8,∴a<-8
即a的取值范圍是(-∞,-8)(15分)
點(diǎn)評(píng):本題的第一和第二問考查的是抽象函數(shù)性質(zhì)的證明.抽象函數(shù)性質(zhì)的證明是一種代數(shù)推理,和幾何推理證明一樣,要注意推理的嚴(yán)謹(jǐn)性,每一步推理都要有充分的條件,不可漏掉條件,更不可臆造條件,推理過程要層次分明,書寫規(guī)范.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)y=f(x)=ax+
1x+b
(a≠0)
的圖象過點(diǎn)(0,-1)且與直線y=-1有且只有一個(gè)公共點(diǎn);設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是函數(shù)y=f(x)圖象上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作直線y=x和直線x=1的垂線,垂足分別是M,N.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)證明:曲線y=f(x)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形,并求其對(duì)稱中心Q;
(3)證明:線段PM,PN長度的乘積PM•PN為定值;并用點(diǎn)P橫坐標(biāo)x0表示四邊形QMPN的面積..

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設(shè)函數(shù)f(x)=ax+
1x+b
(a,b∈Z)
,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y=3.
(Ⅰ)求f(x)的解析式:
(Ⅱ)證明:函數(shù)y=f(x)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形,并求其對(duì)稱中心;
(Ⅲ)證明:曲線y=f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值,并求出此定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某服裝批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)營的某種服裝,進(jìn)貨成本40元/件,對(duì)外批發(fā)價(jià)定為60元/件.該商場(chǎng)為了鼓勵(lì)購買者大批量購買,推出優(yōu)惠政策:一次購買不超過50件時(shí),只享受批發(fā)價(jià);一次購買超過50件時(shí),每多購買1件,購買者所購買的所有服裝可在享受批發(fā)價(jià)的基礎(chǔ)上,再降低0.1元/件,但最低價(jià)不低于50元/件.
(1)問一次購買多少件時(shí),售價(jià)恰好是50元/件?
(2)設(shè)購買者一次購買x件,商場(chǎng)的利潤為y元(利潤=銷售總額-成本),試寫出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式.并說明在售價(jià)高于50元/件時(shí),購買者一次購買多少件,商場(chǎng)利潤最大.

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某公司將進(jìn)一批單價(jià)為7元的商品,若按每個(gè)10元銷售,每天可賣出100個(gè);若每個(gè)商品的銷售價(jià)上漲1元,則每天的銷售量就減少10個(gè).
(1)設(shè)每個(gè)商品的銷售價(jià)上漲x元(x≥0,x∈N),每天的利潤為y元,試寫出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式,并指明函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)每個(gè)商品的銷售價(jià)定為多少時(shí),每天的利潤最大?并求出此最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某服裝批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)營的某種服裝,進(jìn)貨成本40元/件,對(duì)外批發(fā)價(jià)定為60元/件.該商場(chǎng)為了鼓勵(lì)購買者大批量購買,推出優(yōu)惠政策:一次購買不超過50件時(shí),只享受批發(fā)價(jià);一次購買超過50件時(shí),每多購買1件,購買者所購買的所有服裝可在享受批發(fā)價(jià)的基礎(chǔ)上,再降低0.1元/件,但最低價(jià)不低于50元/件.
(Ⅰ)問一次購買150件時(shí),每件商品售價(jià)是多少?
(Ⅱ)問一次購買200件時(shí),每件商品售價(jià)是多少?
(Ⅲ)設(shè)購買者一次購買x件,商場(chǎng)的售價(jià)為y元,試寫出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式.

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