如圖,四邊形ABCD中,為正三角形,,,AC與BD交于O點.將沿邊AC折起,使D點至P點,已知PO與平面ABCD所成的角為,且P點在平面ABCD內的射影落在內.
(Ⅰ)求證:平面PBD;
(Ⅱ)若時,求二面角的余弦值。
(1)取BD中點Q,證得Q與O重合。則面PBD
(2)
解析試題分析:(1)取BD中點Q,則三點共線,即Q與O重合。
則面PBD
(2)因為AC面PBD,而面ABCD,所以面ABCD面PBD,則P點在面ABCD上的射影點在交線BD上(即在射線OD上),所以PO與平面ABCD所成的角。以O為坐標原點,OA為軸,OB為軸建空間直角坐標系。,因為AC面PBD,所以面PBD的法向量,設面PAB的法向量,又,由,得①,又,由,得
②, 在①②中令,可得,則
所以二面角的余弦值
考點:本題主要考查立體幾何中的垂直關系,角的計算,空間向量的應用。
點評:典型題,立體幾何題,是高考必考內容,往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計算”的步驟,將立體問題轉化成平面問題,是解決立體幾何問題的一個基本思路。通過就落實黨的坐標系,利用空間向量,免去了繁瑣的邏輯推理過程,對計算能力要求較高。
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,已知PB⊥底面ABCD,BC⊥AB,AD∥BC,AB=AD=2,CD⊥PD,異面直線PA和CD所成角等于60°.
(1)求證:面PCD⊥面PBD;
(2)求直線PC和平面PAD所成角的正弦值的大。
(3)在棱PA上是否存在一點E,使得二面角A-BE-D的余弦值為?若存在,指出點E在棱PA上的位置,若不存在,說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面,底面為正方形,,分別是的中點.
(1)求證:;
(2)在平面內求一點,使平面,并證明你的結論;
(3)求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,側棱AA1⊥面ABC,D、E分別是棱A1B1、AA1的中點,點F在棱AB上,且.
(Ⅰ)求證:EF∥平面BDC1;
(Ⅱ)求二面角E-BC1-D的余弦值.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知:四棱錐P—ABCD的底面為直角梯形,且AB∥CD,∠DAB=90o,DC=2AD=2AB,側面PAD與底面垂直,PA=PD,點M為側棱PC上一點.
(1)若PA=AD,求PB與平面PAD的所成角大;
(2)問多大時,AM⊥平面PDB可能成立?
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示, 其正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.(1)證明:⊥平面(2)求平面與平面所成角的余弦值;
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知棱長為1的正方體AC1,E、F分別是B1C1、C1D的中點.
(1)求證:E、F、D、B共面;
(2)求點A1到平面的BDEF的距離;
(3)求直線A1D與平面BDEF所成的角.
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