Question

5．某制瓶廠要制造一批軸截面如圖所示的瓶子，瓶子是按照統(tǒng)一規(guī)格設(shè)計(jì)的，瓶體上部為半球體，下部為圓柱體，并保持圓柱體的容積為3π．設(shè)圓柱體的底面半徑為x，圓柱體的高為h，瓶體的表面積為S．
（1）寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（2）如何設(shè)計(jì)瓶子的尺寸（不考慮瓶壁的厚度），可以使表面積S最小，并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)體積公式求出h，再根據(jù)表面積公式計(jì)算即可得到S與x的關(guān)系式，
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可求出．

解答 解：（1）據(jù)題意，可知πx²h=3π，得$h=\frac{3}{x^2}$，
$S=\frac{1}{2}•4π{x^2}+π{x^2}+2πx•\frac{3}{x^2}=3π{x^2}+\frac{6π}{x}，（x＞0）$
（2）${S^'}=6πx-\frac{6π}{x^2}$，
令S′=0，得x=±1，舍負(fù)，
當(dāng)S′（x）＞0時(shí)，解得x＞1，函數(shù)S（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)S′（x）＜0時(shí)，解得0＜x＜1，函數(shù)S（x）單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有極小值，且是最小值，S（1）=9π
答：當(dāng)圓柱的底面半徑為1時(shí)，可使表面積S取得最小值9π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值在實(shí)際生活中的應(yīng)用，屬于中檔題