已知函數(shù)f(x)=x2-2lnx.
(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(2)若當x∈[
1e
,e]
時,不等式f(x)<m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)若關于x的方程f(x)=x2-x+a在區(qū)間[1,3]上恰好有兩個相異的實根,求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)先求導數(shù)fˊ(x)然后在函數(shù)的定義域內解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,fˊ(x)>0的區(qū)間為單調增區(qū)間,fˊ(x)<0的區(qū)間為單調減區(qū)間.
(2)不等式f(x)<m恒成立,只需f(x)max<m即可.轉化為求函數(shù)最大值.利用導數(shù)工具求解.
(3)方程f(x)=x2-x+a變形為x-2lnx-a=0,令g(x)=x-2lnx-a(x>0),利用數(shù)形結合的思想,要求g(x)在區(qū)間[1,3]上恰好有兩個相異的零點.通過g(x)的單調性及最值,極值求解.
解答:解:(1)由函數(shù)f(x)=x2-2lnx知其定義域為{x|x>0}…(1分)
f′(x)=2x-
2
x
=
2(x+1)(x-1)
x

令f'(x)>0,解得:x>1;令f'(x)<0,解得:0<x<1
∴函數(shù)f(x)單調增區(qū)間是(1,+∞);減區(qū)間是(0,1)…(4分)
(2)由題意知不等式f(x)<m對?x∈[
1
e
,e]
恒成立
m>f(x)max,x∈[
1
e
,e]
…(5分)
∴令f'(x)=0得x=1或-1(舍)
當x變化時,f(x),f'(x)的變化情況如下表:

x
1
e
(
1
e
,1)
1 (1,e) e
f'(x) - 0 +
f(x)
1
e2
+2
極小值f(1) e2-2
f(x)max=max{f(
1
e
),f(e)}
…(7分)
f(
1
e
)=
1
e2
+2<f(e)=e2-2

f(x)max=f(e)=e2-2
∴m>e2-2
∴實數(shù)m的取值范圍是(e2-2,+∞)…(9分)
(3)依題意:關于x的方程f(x)=x2-x+a在區(qū)間[1,3]上恰好有兩個相異的實根
即方程x2-2lnx=x2-x+a在區(qū)間[1,3]上恰好有兩個相異的實根
∴化簡得方程x-2lnx-a=0在區(qū)間[1,3]上恰好有兩個相異的實根  …(10分)
令g(x)=x-2lnx-a,(x>0)
g′(x)=1-
2
x
=
x-2
x

令g'(x)=0,得x=2
∴當x∈(0,2)時,g'(x)<0;當x∈(2,+∞)時,g'(x)>0.
∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2)上為減函數(shù),在區(qū)間(2,+∞)上為增函數(shù)
∴要使方程x-2lnx-a=0在區(qū)間[1,3]上恰好有兩個相異的實根,則
g(1)>0
g(2)<0
g(3)>0
1-a>0
2-2ln2-a<0
3-2ln3-a>0
…(13分)
解得2-2ln2<a<3-2ln3
∴實數(shù)a的取值范圍是(2-2ln2,3-2ln3).  …(14分)
點評:本題考查導數(shù)知識的綜合運用,考查函數(shù)的單調性,恒成立問題,函數(shù)與方程,數(shù)形結合思想,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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