Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C所對的邊，且b²=ac，向量m=（cos（A-C），1）和n=（1，cosB）滿足．
（1）求sinAsinC的值；
（2）求證：三角形ABC為等邊三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由m=（cos（A-C），1）和n=（1，cosB）滿足，我們不難得到cos（A-C）+cos（A+C）=，和差化積后，即可得到sinAsinC的值；
（2）由（1）的結論及b²=ac，我們易得B角的大小，再由余弦定理，我們可以得到a，c兩邊的關系，進行判斷三角形ABC為等邊三角形．
解答：（1）解：由得，
，
又B=π-（A+C），得cos（A-C）-cos（A+C）=，
即cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC）=，
所以sinAsinC=．
（2）證明：由b²=ac及正弦定理得sin²B=sinAsinC，
故．
于是，
所以或．
因為cosB=-cos（A-C）＞0，
所以，故．
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
即b²=a²+c²-ac，
又b²=ac，
所以ac=a²+c²-ac，
得a=c．
因為，
所以三角形ABC為等邊三角形．
點評：要想判斷一個三角形的形狀，我們有兩種思路：一是判斷最大角是銳角、直角還是鈍角；二是判斷是否有兩邊長相等．