Question

12．空間四點(diǎn)A，B，C，D滿足|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{BC}$|=3，|$\overrightarrow{CD}$|=3$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{DA}$|=7，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的值為0．

Answer 1

分析 先把ABCD看成是平面圖形，過B作BE垂直AC，過D作DF垂直AC，運(yùn)用勾股定理，可得E，F(xiàn)重合，再將圖形沿AC或BD折起，便是空間圖形，運(yùn)用線面垂直的判定和性質(zhì)，可得AC⊥BD，再由向量數(shù)量積的性質(zhì)，即可得到答案．

解答 解：由|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{BC}$|=3，|$\overrightarrow{CD}$|=3$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{DA}$|=7，
根據(jù)數(shù)據(jù)可知AB²+CD²=BC²+DA²=58，
BC²-AB²=CD²-DA²．
先把ABCD看成是平面圖形，
過B作BE垂直AC，過D作DF垂直AC，
則AB²=AE²+BE²，BC²=CE²+BE²，
則BC²-AB²=CE²-AE²．
同理CD²-DA²=CF²-AF²，即CF²-AF²=CE²-AE²，
又因?yàn)锳，E，F(xiàn)，C在一條直線上，
所以滿足條件的只能是E，F(xiàn)重合，即有AC垂直BD，
再將圖形沿AC或BD折起，便是空間圖形，
由AC⊥BE，AC⊥DE，即有AC⊥平面BDE，則AC⊥BD，
即$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間直線和平面的位置關(guān)系，以及向量的數(shù)量積的性質(zhì)，考查空間想象能力，屬于中檔題．