Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）為偶函數(shù)，且其圖象上相鄰的一個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間的距離為

4+π2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若tanα+

1

tanα

=5，求

2 f(2α- π 4 )-1

1-tanα

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）設(shè)最高點(diǎn)為（x₁，1），最低點(diǎn)為（x₂，-1），結(jié)合圖象上相鄰的一個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間的距離為

4+π2

列式求出周期，代入周期公式求得ω，然后再由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)求φ，在函數(shù)解析式可求；
（2）由tanα+

1

tanα

=5得sinαcosα=

1

5

，化簡(jiǎn)

2 f(2α- π 4 )-1

1-tanα

后代入得sinαcosα=

1

5

得答案．

解答： 解：（1）設(shè)最高點(diǎn)為（x₁，1），最低點(diǎn)為（x₂，-1），
則|x1-x2|=

T

2

(T＞0)，
∴

T2

4

+4=4+π2，T=2π，則ω=1．
∴f（x）=sin（x+φ），
∵f（x）=sin（ωx+φ為偶函數(shù)，
∴sinφ=±1，φ=kπ+

π

2

，k∈Z．
∵0≤φ≤π，
∴φ=

π

2

．
則f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx；
（2）∵tanα+

1

tanα

=5，
∴sinαcosα=

1

5

．

2 f(2α- π 4 )-1

1-tanα

=

2 cos(2α- π 4 )-1

1-tanα

=2sinαcosα=

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)解析式，考查了三角恒等變換在解題中的應(yīng)用，是中檔題．