Question

已知橢圓C的方程：

x2

4

+

y2

2

=1．
（1）橢圓上一點(diǎn)H(

2

，1)，AB是過橢圓中心的一條弦，且HA、HB與兩坐標(biāo)軸均不平行．求K_HA•K_HB的值；
（2）已知M(1，

6

2

)，P、Q是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P、Q與M均不重合），F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，且|PF|，|MF|，|QF|依次成等差數(shù)列．求證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)E，并求出E的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)A（x，y），B（-x，-y），則KHA•KHB=

y2-1

x2-2

又

x2

4

+

y2

2

=1代入上式得KHA•KHB=-

1

2

．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

2

=1，可知|PF|=2+

2

2

x₁，同理|QF|=2+

2

2

x₂，|MF|=

(1+ 2 )2+( 6 2 )2

=2+

2

2

，從而x₁+x₂=2．由此能證明線段PQ的中垂線過定點(diǎn)A（

1

2

，0）．

解答： （1）解：設(shè)A（x，y），B（-x，-y）
∴KHA=

y-1

x- 2

KHB=

-y-1

-x- 2

∴KHA•KHB=

y2-1

x2-2

又

x2

4

+

y2

2

=1代入上式
∴KHA•KHB=-

1

2

．
（2）證明：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

2

=1，
可知|PF|=2+

2

2

x₁，同理|QF|=2+

2

2

x₂，
|MF|=

(1+ 2 )2+( 6 2 )2

=2+

2

2

，
∵2|MF|=|PF|+|QF|，
∴2（2+

2

2

）=4+

2

2

（x₁+x₂），∴x₁+x₂=2．
（�。┊�(dāng)x₁≠x₂時(shí)，由

x12+2y12=4 x22+2y22=4

，
得x

2 1

-x

2 2

+2（y

2 1

-y

2 2

）=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

•

x1+x2

y1+y2

．
設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N（1，n），由k_PQ=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2n

，
得線段PQ的中垂線方程為y-n=2n（x-1），
∴（2x-1）n-y=0，
該直線恒過一定點(diǎn)A（

1

2

，0）．
（ⅱ）當(dāng)x₁=x₂時(shí)，P（1，-

6

2

），Q（1，

6

2

）或P（1，

6

2

），Q（1，-

6

2

），
線段PQ的中垂線是x軸，也過點(diǎn)A（

1

2

，0）．
綜上，線段PQ的中垂線過定點(diǎn)A（

1

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線的斜率的乘積的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．