Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+2xtanθ-1，其中θ∈（$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）
（1）當(dāng)θ=-$\frac{π}{4}$，x∈[-1，$\sqrt{3}$]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值
（2）求θ的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-$\sqrt{3}$，1]上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由θ=-$\frac{π}{4}$，得tanθ=-1，代入f（x）=x²+2xtanθ-1，然后利用配方法求得函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）把已知函數(shù)解析式配方，求出函數(shù)的對稱軸，利用在區(qū)間[-$\sqrt{3}$，1]上是單調(diào)函數(shù)得到tanθ的范圍，進(jìn)一步求得θ的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)θ=-$\frac{π}{4}$時，tanθ=-1，
$f（x）={x^2}-2x-1={（x-1）^2}-2，x∈[{-1，\sqrt{3}}]$，
當(dāng)x=1時，f（x）的最小值是-2；x=-1時，f（x）取得最大值為2．…（6分）
（2）函數(shù)f（x）=（x+tanθ）²-1-tan²θ的對稱軸是x=-tanθ，…（8分）
使y=f（x）在區(qū)間[-$\sqrt{3}$，1]上是單調(diào)函數(shù)．
可得-tan$θ≤-\sqrt{3}$或-tanθ≥1，…（10分）
即tanθ$≥\sqrt{3}$或tanθ≤-1，
又θ∈（$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴θ的取值范圍是：（$-\frac{π}{2}，-\frac{π}{4}$）∪（$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$）．…（12分）

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，訓(xùn)練了配方法在求最值中的應(yīng)用，考查二次函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．