Question

19．已知拋物線C₁：y²=4$\sqrt{3}$x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線與拋物線C₁在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\sqrt{3}$，且△FAB為正三角形，則雙曲線C₂的方程為$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{8}=1$．

Answer 1

分析 拋物線C₁：y²=4$\sqrt{3}$x的焦點(diǎn)為F（$\sqrt{3}$，0），其準(zhǔn)線方程為x=-$\sqrt{3}$，利用△FAB為正三角形，可得A的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，可得a，b的方程，利用雙曲線的一條漸近線與拋物線C₁在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\sqrt{3}$，可得交點(diǎn)坐標(biāo)，可得a，b的方程，從而可得a，b的值，即可求出雙曲線C₂的方程．

解答 解：拋物線C₁：y²=4$\sqrt{3}$x的焦點(diǎn)為F（$\sqrt{3}$，0），其準(zhǔn)線方程為x=-$\sqrt{3}$，
∵△FAB為正三角形，
∴|AB|=4，
將（-$\sqrt{3}$，2）代入雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1可得$\frac{3}{{a}^{2}}-\frac{4}{^{2}}$=1，
∵雙曲線的一條漸近線與拋物線C₁在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\sqrt{3}$，
∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）
∴$\frac{a}$=2，
∴a=$\sqrt{2}$，b=2$\sqrt{2}$，
∴雙曲線C₂的方程為$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{8}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{8}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線、雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用拋物線、雙曲線的性質(zhì)是關(guān)鍵．