【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若函數(shù)在處取得極小值,設(shè)此時(shí)函數(shù)的極大值為,證明:.
【答案】(1);(2)當(dāng)時(shí),在上遞減;當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為,,增區(qū)間為;當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為,,增區(qū)間為;(3)見解答過程。
【解析】試題分析:(1)先依據(jù)題設(shè)條件對(duì)函數(shù)求導(dǎo),借助導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線的斜率,運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式方程求解;(2)先對(duì)函數(shù)然后再運(yùn)用分類整合思想探求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)借助(2)的結(jié)論,確定函數(shù)在處取得極小值時(shí)在處取得極大值,然后得到,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可知其在在上遞減,從而得到,即。
解:(1)當(dāng)時(shí),,故.
又,則.
故所求切線方程為.
(2)∵
,
∴當(dāng)時(shí),,故在上遞減.
當(dāng)時(shí),,;,,
故的減區(qū)間為,,增區(qū)間為,
當(dāng)時(shí),,;,,
故的減區(qū)間為,,增區(qū)間為.
綜上所述,當(dāng)時(shí),在上遞減;
當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為,,增區(qū)間為;
當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為,,增區(qū)間為.
(3)依據(jù)(2)可知函數(shù)在處取得極小值時(shí),,
故函數(shù)在處取得極大值,即,
故當(dāng)時(shí),,即在上遞減,
所以,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于方程(m﹣1)x2+(3﹣m)y2=(m﹣1)(3﹣m),m∈R所表示的曲線C的性狀,下列說法正確的是( )
A.對(duì)于m∈(1,3),曲線C為一個(gè)橢圓
B.m∈(﹣∞,1)∪(3,+∞)使曲線C不是雙曲線
C.對(duì)于m∈R,曲線C一定不是直線
D.m∈(1,3)使曲線C不是橢圓
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)M(3,1),圓(x﹣1)2+(y﹣2)2=4.
(1)求過M點(diǎn)的圓的切線方程;
(2)若直線ax﹣y+4=0與圓相交于A、B兩點(diǎn),且弦AB的長為2 ,求a的值.
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【題目】有兩個(gè)命題,p:關(guān)于x的不等式ax>1(a>0,且a≠1)的解集是{x|x<0};q:函數(shù)y=lg(ax2﹣x+a)的定義域?yàn)镽.如果p∨q為真命題,p∧q為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 點(diǎn) 為短軸的一個(gè)端點(diǎn),∠OF2B=60°.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)如圖,過右焦點(diǎn)F2 , 且斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于D,E兩點(diǎn),A為橢圓的右頂點(diǎn),直線AE,AD分別交直線x=3于點(diǎn)M,N,線段MN的中點(diǎn)為P,記直線PF2的斜率為k′.試問kk′是否為定值?若為定值,求出該定值;若不為定值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)千件,需另投入成本為萬元,當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí), (萬元);當(dāng)年產(chǎn)量不少于80千件時(shí), (萬元).通過市場分析,若每件售價(jià)為500元時(shí),該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部銷售完.
(1)寫出年利潤 (萬元)關(guān)于年產(chǎn)量 (千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高一年級(jí)的A,B,C三個(gè)班共有學(xué)生120人,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,用分層抽樣的方法從這三個(gè)班中分別抽取4,5,6名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查. (Ⅰ)求A,B,C三個(gè)班各有學(xué)生多少人;
(Ⅱ)記從C班抽取學(xué)生的編號(hào)依次為C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 , 現(xiàn)從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名做進(jìn)一步的數(shù)據(jù)分析.
(i)列出所有可能抽取的結(jié)果;
(ii)設(shè)A為事件“編號(hào)為C1和C2的2名學(xué)生中恰有一人被抽到”,求事件A發(fā)生的概率.
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【題目】選修4-4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xoy中,曲線,直線過點(diǎn)與曲線交于二點(diǎn), 為中點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,以平面直角坐標(biāo)系xoy的單位1為基本單位建立極坐標(biāo)系.
(1)求直線的極坐標(biāo)方程;
(2) 為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求的范圍.
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【題目】命題p:關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0對(duì)一切x∈R恒成立;命題q:函數(shù)f(x)=lagax在(0,+∞)上遞增,若p∨q為真,而p∧q為假,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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